Question

VALENDO 32 PONTOS

simplifique.
a)
$\sqrt{8} + \sqrt{32} + \sqrt{72} - \sqrt{50}$
b)
$\sqrt{20} - \sqrt{24} + \sqrt{125} - \sqrt{54}$


me ajudem!!! tenho prova e quero bem explicado como fazer.

Answer 1

Resposta:

a)7√2

b)7√5-5√6

Explicação passo-a-passo:

Pelo método de fatoração , podemos simplificar raízes, no caso do exercício,será utilizada uma raiz em comum

um dos métodos de fatoração consiste em pegar certa raiz

ex: √8 e dividí-la por números primos(números divisíveis apenas por 1 ou por si mesmos)=2,3,5,7,11,13,etc...

8|(é divisível pelo número primo 2)2

4|2

2|2

1

a resolução deu √2.2.2,2³ ou 2².2, √2².2= 2√2

a)

√8+√32+√72-√50

√8= 8|2  √32=32|2  √72=72|  √50|2

   4|2        16|2          36|2         25|5<-número primo divisor de 25

   2|2         8|2            18|2         5|5

    1            4|2              9|3          1

                  2|2             3|3      

                   1                 1

 (2.2.2)      (2.2.2.2.2)             (2.2.2.3.3)             (2.5.5)

 √2².2         √2².2².2                √2².3².2               √5².2              

 √8=2√2     √32=2.2√2          √72=2.3√2           √50=5√2

                            4√2                     6√2        

voltando ao exercício,

√8+√32+√72-√50

(2√2)+(4√2)+(6√2)-(5√2)

12√2-5√2

7√2

b)√20 - √24 + √125 - √54

   √20= 20|2             √24 = 24|2          √125=125|5    √54=54|2

              10|2                         12|2                       25|5             27|3

               5|5                           6|2                         5|5              9|3

                1                              3|3                          1                  3|3

                                                  1                                                 1

         (2.2.5)                         (2.2.2.3)              (5.5.5)            (2.3.3.3)

        √2².5                          √2².2.3                √5².5           √2.3.3²

   √20=2√5                 √24=2√2.3           √125=5√5     √54=3√2.3

                                      √24=2√6                                    √54=3√6

voltando ao exercício,

√20-√24+√125-√54

(2√5)-(2√6)+(5√5)-(3√6)

7√5-5√6

Espero ter ajudado!

Answer 2

Olá, vamos lá.

O que deve entender primeiro é o mecanismo de uma raiz quadrada.

Quando um  número está dentro de uma raiz quadrada, para descobrir seu real valor, você deve (recomenda-se) fatorá-lo, tornando mais fácil, isto é, deve ir simplificando ao máximo, usando os números primos (2, 3, 5, 7, 11...). Mas, como fatorar? É simples.

Vamos pegar um exemplo, o número 72. Como foi dito antes, deve-se deixá-lo em função de números primos, dividindo por eles. É interessante que comece sempre pelo menor possível, como o 2 em caso do número ser par, até que chegar no 1. Praticando:

$\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1\end{array}$

Fatorando o 72, percebemos que ele é mesmo que 2 x 2 x 2 x 3 x 3 =72

Agora que sabemos como fatorar, vamos decifrar porque chama-se "raiz quadrada", esse é o nome porque os números devem estar ao quadrado para sair dela.

Usando o exemplo o 72 fatorado, podemos reescrevê-lo assim: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 =2² x 3² x 2

Ou seja, para simplificar sua raiz reagrupei números em par, para poderem sair.

$\sqrt{72} =\sqrt{2^2\cdot3^2\cdot2}$

Os números ao quadrados saem multiplicando, sem o quadrado, os que não estão ao quadrado ficam na raiz:

$2\cdot3\cdot\sqrt{2} =6\sqrt{2}$

Simplificamos o 72. Viu? Não é difícil, depois que pega o jeito faz muito rápido.

Agora que entendemos tudo isso, vamos aos seus exercícios.

$a)\;\sqrt{8}+\sqrt{32}+\sqrt{72} -\sqrt{50}$

Vamos primeiramente fatorar todos esses números e reagrupar em pares:

$\begin{array}{r|l}8&2\\4&2\\2&2\\1\end{array}$

$8 =2^2\cdot2$

$\begin{array}{r|l}32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1\end{array}$

$32 =2^2\cdot2^2\cdot2$

$\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1\end{array}$

$50 =5^2\cdot2$

Não fiz do 72, porque já está no exemplo, agora vamos substituir todos:

$\sqrt{2^2\cdot2} +\sqrt{2^2\cdot2^2\cdot2} +\sqrt{2^2\cdot3^2\cdot2}-\sqrt{5^2\cdot2$

Tirando os que estão ao quadrado da raiz:

$2\sqrt{2} +2\cdot2\sqrt{2} +2\cdot3\sqrt{2} -5\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} +4\sqrt{2} +6\sqrt{2} -5\sqrt{2}$

Agora perceba que todos estão multiplicando a mesma raiz, então pode tirá-la em evidência assim:

$\sqrt{2} \cdot(2+4+6-5)$

Caso faça a distributiva, retornará no que tinha antes.

O que está dentro dos parênteses pode somar a subtrair de acordo com o sinal:

$\sqrt{2} \cdot (12-5)=\sqrt{2} \cdot7$

Só para dar uma estética melhor:

$\boxed{7\sqrt{2}}$

$b)\; \sqrt{20} -\sqrt{24} +\sqrt{125} -\sqrt{54}$

Agora, como já sabe como fatorar, eu vou colocar direto, tudo bem?

$\sqrt{2^2\cdot5} -\sqrt{2^2\cdot2\cdot3} +\sqrt{5^2\cdot5} -\sqrt{3^2\cdot3\cdot2}$

$2\sqrt{5} -2\sqrt{6} +5\sqrt{5} -3\sqrt{6}$

Reorganizando temos:

$2\sqrt{5}+5\sqrt{5}-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}$

$(2+5)\sqrt{5} +(-2-3)\sqrt{6}$

$\boxed{7\sqrt{5} -5\sqrt{6}}$

É isso, espero que tenha entendido, bons estudos.