Matemática, perguntado por jejejesousa96, 1 ano atrás

VALENDO 30 PONTOS

O 10º termo da PA (a, 3a/2, …) é igual a :

Soluções para a tarefa

Respondido por Brunoranery

Boa tarde, tudo bem?
Temos uma pa de razão a/2 pois pegando o segundo termo e subtraindo a, temos a/2.

Termo geral:
an = a1 + (n-1)r
a10 = a + 9 x a/2
a10 = 11a/2

Espero ter ajudado ;)

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (a, 3a/2, ...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: a

b)décimo termo (a₁₀): ?

c)número de termos (n): 10 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do décimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se de zero, que é a origem da reta numérica, e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero (afinal, se o primeiro termo é a, o segundo é 1,5a (divisão 3a/2), ou seja, meia unidade maior).

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = (3a/2) - a ⇒ (o m.m.c entre 1 e 2 é 2.)

r = (3a - 2a)/2 ⇒

r = a/2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o décimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀ = a + (10 - 1) . (a/2) ⇒

a₁₀ = a + (9) . (a/2) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀ = a + (9a)/2 ⇒ (O m.m.c entre 1 e 2 é 2.)

a₁₀ = (2a + 9a)/2 ⇒

a₁₀ = 11a/2

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 10º termo da P.A(a, 3a/2,...) é 11a/2.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀ = 11a/2 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀ = a₁ + (10 - 1) . (a/2) ⇒

11a/2 = a₁ + (9) . (a/2) ⇒

11a/2 = a₁ + 9a/2 ⇒ (Passa-se 9a/2 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

11a/2 - 9a/2 = a₁ ⇒

2a/2 = a₁

a = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = a (Provado que a₁₀ = 11a/2.)

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