Question

Valendo 15pts
Se x é um arco do terceiro quadrante tal que tg x = 2/3, o valor de seno x é
a) √13/13
b)-√13/13
c)-2√13/13
d)-3√13/13

Answer 1

Pela relação:

$tgx = \frac{senx}{cosx} \ \ \therefore \boxed{cosx = \frac{senx}{tgx}}$

Vamos substituir na equação fundamental:

$sen^{2}x+cos^{2}x = 1 \\\\ sen^{2}x+(\frac{senx}{tgx})^{2} = 1 \\\\ sen^{2}x+\frac{sen^{2}x}{(\frac{2}{3})^{2}} = 1 \\\\ sen^{2}x+\frac{sen^{2}x}{\frac{4}{9}} = 1 \\\\ sen^{2}x+\frac{9sen^{2}x}{4} = 1 \\\\ \text{MMC=4} \\\\ \frac{4sen^{2}x+9sen^{2}x}{\not 4} = \frac{4}{\not 4} \\\\ 13sen^{2}x = 4 \\\\ sen^{2}x = \frac{4}{13} \\\\ senx = \sqrt{\frac{4}{13}} \\\\ senx = \frac{2}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \pm \frac{2\sqrt{13}}{13}$

Se é terceiro quadrante, creio que o sen é positivo. A alternativa C é negativa mesmo?

Answer 2

O valor de seno de x é $-\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Sabemos que tangente é igual a razão entre seno e cosseno. Como tg(x) = 2/3, então podemos dizer que:

sen(x)/cos(x) = 2/3

cos(x) = 3sen(x)/2.

A relação fundamental da trigonometria nos diz que sen²(x) + cos²(x) = 1.

Substituindo o valor do cosseno, obtemos:

sen²(x) + 9sen²(x)/4 = 1

13sen²(x) = 4

sen²(x) = 4/13

$sen(x)=+-\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Observe que obtemos dois valores para seno de x: um positivo e outro negativo.

Do enunciado, temos a informação de que x é um arco do terceiro quadrante.

O seno é:

• positivo nos quadrantes 1 e 2
• negativo nos quadrantes 3 e 4.

Portanto, podemos concluir que $sen(x)=-\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

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