Question

VALE 20 PONTOS SOCORRO
3) Na figura, os triângulos ABM e BCP são equiláteros e ABCD é um quadrado. Determine, em graus, o valor de a.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\alpha=11\°}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos estas questões, utilizaremos alguns conceitos de geometria plana e ângulos.

Primeiro, observe os ângulos $\angle{MBA}$ e $\angle{PBC}$.

Como se tratam de triângulos equiláteros, sabendo que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, temos a relação para polígonos regulares:

$a_i=\dfrac{S_i}{n}$, tal que $a_i$ é a medida de cada ângulo interno, $S_i$ é a soma dos ângulos internos e $n$ é o número de lados do polígono. Substituindo os valores, temos:

$a_i=\dfrac{180\°}{3}=60\°$

Logo, temos que $\measuredangle{MBA}=\measuredangle{PBC}=60\°$

Então, sabendo que o quadrado é uma figura que apresenta 4 ângulos retos, observe a imagem em anexo: O ângulo formado entre o lado do quadrado e os segmentos $\overline{BC}$e $\overline{BM}$ é de $90\°-60\°=30\°$.

Por fim, observe que os segmentos $\overline{PB}$ e $\overline{BM}$ são lados dos triângulos equiláteros. Isto significa que esta é um triângulo isósceles. Porém, para encontrarmos os ângulos $\angle{BMP}$ e $\angle{MPB}$, observe que o triângulo $\Delta{PBM}$ é retângulo em $B$.

Isto significa que $\measuredangle{BMP}=\measuredangle{MPB}=45\°$.

Dessa forma, para encontrarmos o ângulo $\alpha$, sabendo que $\measuredangle{MPB}=45\°$ e que $\measuredangle{CPB}=60\°$, temos que:

$2\alpha-7\°+45\°=60\°$

Some os termos semelhantes do lado esquerdo da equação

$2\alpha+38\°=60\°$

Subtraia $38\°$ em ambos os lados

$2\alpha=22\°$

Divida ambos os lados por $2$

$\alpha=11\°~~\checkmark$

Esta é a medida do ângulo $\alpha$ que buscávamos.