Question

V)Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno do eixo indicado.

y = x^2, e o eixo x, e a reta x = 2, em torno do eixo y (método do anel e invólucro)

Answer 1

Fazendo pelo anel primeiramente:

Ao rotacionarmos as curvas ao eixo y, teremos que traçar uma reta auxiliar perpendicular ao eixo de rotação para saber o valor do raio.

Traçando uma reta perpendicular veremos que:

R² = Função superior² - função inferior²

Mas, a curva y = x² deve está em função de x

x = √y

Assim sendo, teremos:

R² = (x=2)² - (x = √y)²

R² = 2² - (√y)²

R² = 4 - y

Agora já o o y varia como constante, 

Substituindo x = 2 na curva

y = x²

y = 4

Então, 

0  ≤ y ≤ 4

logo,


$\\ V = \pi \int\limits^4_0 {(4-y)} \, dy \\ \\ V = \pi (4y - \frac{y^2}{2} )|(0,4) \\ \\ V = \pi ( 16 - 8) \\ \\ V = 8 \pi$u.v
-----------------------------------------

Calculando pelo método da casca cilíndricas, devemos traçar uma reta auxiliar paralela ao eixo de rotação para saber a variação de altura.

V = 2π∫ xΔh

Δh = Função superior - Função inferior

Δh = x² - 0

Δh = x²

x é a distância da curva ao eixo de rotação.

d = x - 0

d  = x

Com,

0 ≤ x ≤ 2


$\\ V = 2 \pi \int\limits^2_0 {x(x^2}) \, dx \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{x^4}{4})|(0,2) \\ \\ V = 2 \pi ( ( \frac{16}{4}) \\ \\ V = 8 \pi u.v$