Question

IV)Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno do eixo indicado.

y^2 = 4x+16, e o eixo y, em torno do eixo y. (Usar método do disco)

Answer 1

Usando o método do disco, devemos traçar uma reta auxiliar que seja perpendicular ao eixo de rotação. Para sabermos o valor do raio.

Como foi rotacionado no eixo y,

raio varia em função de x,

Temos que:

y² = 4x + 16

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4x = y² - 16

x = y²/4 - 4
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Logo,

R² = Função superio² - Função inferior²

R² = (y²/4 - 4)² - 0²

R² = (y²/4)² - 2×(y²/4) + 4²

R² = y⁴/16 - y²/2 + 16
---------------------------------

Agora, y varia como constante.

fazendo x  = 0 na curva,

y² = 4x + 16

y² = 0 + 16

y = +/-  4

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-4 ≤ y ≤ 4
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$\\ V = \pi \int\limits^4_ \frac{-4}{} {( \frac{y^4}{16} - \frac{y^2}{2} +16)} \, dy$

Usando a regra da simetria,

$\\ V = 2 \pi \int\limits^4_0 {( \frac{y^4}{16} - \frac{y^2}{2}+16) } \, dy \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{y^5}{80} - \frac{y^3}{6} +16y)|(0,4) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{4^5}{80} - \frac{4^3}{6} +16.4) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{1024}{80} - \frac{64}{6} +64) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{64}{5} - \frac{64}{6} +64) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{32}{15} +64) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{992}{15} ) \\ \\ V = \frac{1984 \pi }{15}u.v$