Question

Utilizando o Teorema de Cramer, resolva o sistema de equações lineares abaixo e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conjunto solução para o referido sistema.

Answer 1

$\left\{\! \begin{array}{ccl} x+2y+4z&\!\!\!=\!\!\!&0\\ 3x+y+3z&\!\!\!=\!\!\!&0\\ x-y-z&\!\!\!=\!\!\!&5 \end{array} \right.$


Reescrevendo o sistema na forma matricial:

$\underbrace{\left[ \begin{array}{ccc} 1&2&4\\3&1&2\\1&-1&-1 \end{array} \right]}_{\mathbf{A}}\left[\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right ]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\5 \end{array}\right]$

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O determinante da matriz $\mathbf{A}:$

$D=\det\mathbf{A}\\\\ D=\det\!\left[ \begin{array}{ccc} 1&2&4\\3&1&2\\1&-1&-1 \end{array} \right]\\\\\\ D=\left| \begin{array}{ccc|cc} 1&2&4&1&2\\3&1&2&3&1\\1&-1&-1&1&-1 \end{array} \right.\\\\\\ \begin{array}{cc} D=&1\cdot 1\cdot (-1)+2\cdot 2\cdot 1+4\cdot 3\cdot (-1)\\ &-1\cdot 1\cdot 4-(-1)\cdot 2\cdot 1-(-1)\cdot 3\cdot 2\\\\ \end{array}\\\\ D=-1+4-12-4+2+6\\\\ D=-5$


( como $D\ne 0,$ o sistema é possível e determinado )

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Agora, temos que calcular os determinantes associados às variáveis $x,$ $y$ e $z.$


$\bullet\;\;$ Para $D_x,$ substituimos a 1ª coluna de $\mathbf{A}$ pelos termos independentes:

$D_x=\det\!\left[\begin{array}{ccc} 0&2&4\\0&1&2\\5&-1&-1 \end{array}\right ]\\\\\\ D_x=0+2\cdot 2\cdot 5+0-5\cdot 1\cdot 4-0-0\\\\ D_x=20-20\\\\ \boxed{\begin{array}{c}D_x=0 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $D_y,$ substituimos a 2ª coluna de $\mathbf{A}$ pelos termos independentes:

$D_y=\det\!\left[\begin{array}{ccc} 1&0&4\\3&0&2\\1&5&-1 \end{array}\right ]\\\\\\ D_y=0+0+4\cdot 3\cdot 5-0-5\cdot 2\cdot 1-0\\\\ D_y=60-10\\\\ \boxed{\begin{array}{c}D_y=50 \end{array}}$


$\bullet\;\;$ Para $D_z,$ substituimos a 3ª coluna de $\mathbf{A}$ pelos termos independentes:

$D_z=\det\!\left[\begin{array}{ccc} 1&2&0\\3&1&0\\1&-1&5 \end{array}\right ]\\\\\\ D_z=1\cdot 1\cdot 5+0+0-0-0-5\cdot 3\cdot 2\\\\ D_z=5-30\\\\ \boxed{\begin{array}{c}D_z=-25 \end{array}}$

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Portanto,

$\bullet\;\;x=\dfrac{D_x}{D}\\\\\\ x=\dfrac{0}{-5}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=0 \end{array}}\\\\\\\\\ \bullet\;\;y=\dfrac{D_y}{D}\\\\\\ y=\dfrac{50}{-5}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=-10 \end{array}}\\\\\\\\\ \bullet\;\;z=\dfrac{D_z}{D}\\\\\\ z=\dfrac{-25}{-5}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}z=5 \end{array}}$


O conjunto solução é

$S=\{0,\,-10,\,5\}$


A solução não está entre as alternativas apresentadas.


Bons estudos! :-)