Question

Utilizando o que você aprendeu sobre raíz quadrada inexata. Calcule com aproximação de três casas decimais:

$\sqrt{2209}$

Answer 1

Olá

Para uma aproximação funcional da raiz quadrada inexata, vale compararmos o radicando aos quadrados perfeitos mais próximos

$46^2 = 2116\\\\ 48^2 = 2304$

Então, vemos de qual está mais próximo

$2304 - 2209 = 95\\\\ 2209 - 2116 = 93$

Portanto, esta raiz quadrada é maior que 46 porém não é tão próxima de 48

Daí, temos um erro $\epsilon$ de 2, podemos usar o método de Newton-Raphson para o cálculo, considerando a função

$x^2 - 2209 = 0$

Também usando as fórmulas

$x_{n+1} =x_n - \displaystyle{\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}}\\\\\ |x_{n + 1} - x_n|<\epsilon$

Levando em conta que
$46 < \sqrt[2]{2209} < 48$ e o valor se aproxima menos de 48, tomamos um dos valores possíveis como 46

Substitua 46 na função

$46^2 - 2209 = 2116 - 2209 = -93$

A derivada será igual a

$(x_n)' = n\cdot x^{n - 1}$

Substitua o valor

$(x^2 - 2209)' = (x^2)' - 2209'$

A derivada da constante é 0, portanto aplique a propriedade

$(x^2)' = 2x$

Substitua 46

$2 . 46 = 92$

Substitua o valor na fórmula da iteração

$x_1 = 46 - \dfrac{-93}{92}$

Simplifique a fração

$x_1=46 + 1,010..$

Desconsidere a parte decimal, por ser mínima (ou faça mais iterações para ficar mais próximo)

$x_1 = 47$

Então, substitua

$|47 - 46| < 2\\\\\ 1 < 2$

Agora, teste o valor da iteração

$47^2 = 2209$

A raiz é exata