Question

utilizando o metodo da substituição, determine o valor de R, sendo: ∫▒〖(3x^2 〗+1)cos⁡(2x^3+2x)dx

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral:

$\displaystyle{\int (3x^2+1)\cdot \cos(2x^3+2x)\,dx}$

Para isso, utilizaremos o método da substituição: faça $u=2x^3+2x$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(2x^3+2x)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e é calculada pela regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{d}{dx}(f(x))+\dfrac{d}{dx}(g(x))$ e $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot \dfrac{d}{dx}(f(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a linearidade e calcule a derivada implícita

$\dfrac{d}{du}(u)\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot\dfrac{d}{dx}(x^3)+2\cdot\dfrac{d}{dx}(x)$

Aplique a regra da potência

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=2\cdot3\cdot x^{3-1}+2\cdot1\cdot x^{1-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{du}{dx}=6x^2+2$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{du}{dx}=3x^2+1$

Assim, substituímos estes termos na integral:

$\displaystyle{\int \left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{du}{dx}\right)\cdot \cos(u)\,dx}$

Multiplique os termos e aplique a linearidade: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$

$\dfrac{1}{2}\cdot\displaystyle{\int \cos(u)\,du}$

Calcule a integral da função cosseno: $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,~C\in\mathbb{R}$

$\dfrac{1}{2}\cdot(\sin(u)+C_1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça a substituição $u=2x^3+2x$. Considere $\dfrac{C_1}{2}=C$, uma constante arbitrária.

$\dfrac{1}{2}\cdot\sin(2x^3+2x)+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.