Question

Utilizando coordenadas esféricas, o valor de \int\limits_0^2 {\int\limits_0^{\sqrt {4 - {y^2}} } {\int\limits_0^{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} } {\frac{1}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} dzdxdy} } é igual a:

Escolha uma:
a. \pi
b. 2\pi
c. 3\pi
d. 4\pi
e. 5\pi

Answer 1

Resposta:

A

Explicação passo-a-passo:

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1. Queremos determinar o valor da seguinte integral:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \int\limits_0^2 {\int\limits_0^{\sqrt {4 - {y^2}} } {\int\limits_0^{\sqrt {4 - {x^2} - {y^2}} } {\frac{1}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} \,dz\,dx\,dy} }}$

2. Vamos usar a sugestão e utilizar coordenadas esféricas:

$\mathsf{x=r\,cos\,\theta\,sin\,\varphi}\\\\\mathsf{y=r\,sin\,\theta\,sin\,\varphi}\\\\\mathsf{z=r\,cos\,\varphi}$

3. Por inspeção, os limites de integração são intervalos positivos, logo:

$\mathsf{r \in [0,2]}\\\\\mathsf{\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]}\\\\\mathsf{\varphi \in [0,\frac{\pi}{2}]}$

4. Lembre-se que o módulo do jacobiano dessa transformação é:

$\mathsf{|J\,(r,\theta,\varphi)|=r^2\,sin\,\varphi}$

5. Observe que o denominador do integrando é o quadrado do vetor posição, ou seja:

$\mathsf{x^2+y^2+z^2=r^2}$

6. Substituindo na integral original, obtemos:

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle \int_0^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{r^2}\cdot r^2\,sin\,\varphi\,d\varphi\,d\theta\,dr}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\bigg(\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin\,\varphi\,d\varphi\bigg)\,d\theta\,dr}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\bigg(-cos\,\varphi\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\bigg)\,d\theta\,dr}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta\,dr=\dfrac{\pi}{2}\int_0^2dr}$

$=\mathsf{\dfrac{\pi}{2}\cdot(2-0)}\\\\=\mathsf{\pi}$

Conclusão: a alternativa correta é a letra A.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Integral tripla em coordenadas esféricas

https://brainly.com.br/tarefa/35191431

Bons estudos!

Equipe Brainly