Question

Utilizando a técnica de integrção apropriada, encontre

∫X²e×dx

Answer 1

$\boxed{ \bullet \: \sf \: x {}^{2} .e {}^{x} - 2 [x.e {}^{x} - e {}^{x} ] + k}$

Explicação

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \bullet \int x {}^{2} \: e {}^{x} dx$

Para encontrar a solução desta integral, vamos utilizar o método da integração por partes, dada pela relação abaixo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \int u.dv = u.v - \int v.du}$

Onde u é uma função que deve ser derivada e dv uma função a ser integrada, onde a escolha delas vai partir da prioridade

Pela regra LIATE - Funções Logarítmicas, Funções Inversas Trigonométricas, Funções Algébricas, Funções Trigonométricas e Funções Exponenciais, o tipo de função que se encontra mais a esquerda da sigla, deve ser derivada, por conseguinte, quem se encontra mais a direita deve ser integrada.

Analisando as funções que se encontram no integrando, podemos ver que uma é Algébrica e a outra exponencial, seguindo a regra, derivamos a algébrica e integramos a exponencial.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf u = x {}^{2} \: \to \: du = 2x.dx \\ \\ \sf\int dv = \int e {}^{x} \: dx \: \: \to \: \: v = e {}^{x}$

Substituindo estes dados na relação da integração por partes, temos:

$\: \: \sf\int x^{2} .e {}^{x} \: dx = x^{2} .e {}^{x} - \int e {}^{x} .2x \: dx \\ \\ \sf\int x {}^{2} .e^{x} \: dx = x {}^{2} .e {}^{x} - 2 \int e {}^{x}.x \: dx$

Note que surgiu outra integral semelhante, ou seja, vamos resolvê-la pelo mesmo método e seguindo os mesmo passos.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf u = x \: \: \to \: \: du = dx \\ \\ \sf \int dv = \int e {}^{x} \: dx\: \: \to \: \: v = e {}^{x}$

Substituindo na relação:

$\: \: \: \: \: \: \sf \int x.e {}^{x} \: dx = x.e {}^{x} - \underbrace{ \int e {}^{x} dx}_{e {}^{x} } \\ \sf \int x.e {}^{x} \: dx = x.e {}^{x} - e {}^{x}$

Substituindo este resultado na integral anterior, onde paramos o cálculo:

$\sf\int x {}^{2} .e^{x} \: dx = x {}^{2} .e {}^{x} - 2 [x.e {}^{x} - e {}^{x} ] + k$

Portanto esta é a resposta.

Espero ter ajudado