Question

Utilizando a regra da cadeia, assinale a alternativa que contenha a derivada numerador diferencial parcial f sobre denominador diferencial parcial t fim da fração onde f abre parênteses x vírgula y fecha parênteses igual a x y s e n abre parênteses y fecha parênteses com x igual a cos t e espaço y igual a t

Answer 1

A alternativa correta é a letra A,  $\frac{\partial f }{\partial t }=-tsin^2t+costsint+tcos^2t$.

Para responder a essa pergunta devemos lembrar como realizamos o produto de uma derivada e também o que é uma derivada parcial.

Uma derivada parcial é uma derivada em referência a uma variável específica tratando as outras como constantes. Nesse caso, não teremos outras variáveis, pois como demonstrado abaixo, a função será apenas em relação a variável t. Substituindo a função paramétrica:

$f(x,y)=xysin(y)\\\\f(t) = cost*t*sin(t)$

Quando realizamos uma derivada de um produto, devemos lembrar o seu conceito:

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} = u*v'+u'*v$

Onde precisamos primeiro fazer a derivada do primeiro termo multiplicar pelo termo igual e somarmos mais o primeiro termo igual multiplicado pelo segundo derivado. Esse mesmo conceito pode ser aplicado para derivadas parciais:

$\frac{\partial f }{\partial t} = (cost*t)'*sint+cost*t*(sint)'\\\\\frac{\partial f }{\partial t}=(-sint*t+cost)*sint+cost*t*cost\\\\\frac{\partial f }{\partial t}=-sin^2t*t+cost*sint+cos^2t*t$

Assim, chegamos ao nossa resultado $\frac{\partial f }{\partial t }=-tsin^2t+costsint+tcos^2t$, letra A.

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