Question

Utilizando a fórmula $C = \int_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^2}$ o comprimento de arco da curva y = 2 x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 4 é:

Favor calcular a conta inteira.


Resposta 4√5 u.c

Answer 1

 Olá Cabral!
 
 Para resolver esta tarefa, você precisa saber derivar e integrar.

 De acordo com o enunciado, $\mathsf{y = 2x}$. Derivando,

$\\ \mathsf{y = 2x} \\\\ \mathsf{y' = 1 \cdot 2 \cdot x^{1 - 1}} \\\\ \mathsf{y' = 2 \cdot x^0} \\\\ \boxed{\mathsf{y' = 2}}$
 
 Por conseguinte, substituímos na fórmula dada no enunciado, veja:

$\\ \mathsf{C = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} \ dx} \\\\\\ \mathsf{C = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + (2)^2} \ dx} \\\\\\ \mathsf{C = \int_{0}^{4} \sqrt{5} \ dx} \\\\\\ \mathsf{C = \left [ x \cdot \sqrt{5} \right ]_{0}^{4}}$
 
 Do Teorema Fundamental do Cálculo,

$\\ \mathsf{C = 4 \cdot \sqrt{5} - 0 \cdot \sqrt{5}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{C = 4\sqrt{5} \ u.c}}$