Question

Utilizando a definição de continuidade/descontinuidade, verifique se f é contínua ou não em x = −1 e em x = 0. Caso f seja descontínua em algum desses valores, identifique o tipo de descontinuidade.

Answer 1

Temos a seguinte função com restrições:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf x {}^{2} + 3x, se \: x \leqslant - 1 \\ \sf - x {}^{2}, se \: - 1 < x < 0 \\ \sf 3, se \: x = 0\\ \sf\arctan(x), se \: x > 0\end{cases}$

Para verificar a continuidade / descontinuidade de uma função, devemos analisar 3 coisas:

• 1) Primeiramente devemos analisar se a função é definida no tal ponto, ou seja, para um x = a, ela possui um y correspondente tal que y = b, matematicamente, tem-se:

$f(x) =a$

• 2) Os limites laterais devem ser iguais, ou seja, o limite da função indo pela esquerda deve ser igual ao limite da função indo pela direita, caso contrário o limite não existe e consequentemente ela é descontínua. Matematicamente tem-se:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to a^{+}} f(x) = \lim_{x\to a^{ - } }f(x)$

• 3) O valor da função no tal ponto onde ela é definida deve ser igual ao limite bilateral. Matematicamente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to a^{}} f(x) = f(x)$

Vamos iniciar analisando a continuidade da função no ponto x = -1.

• Condição 1:

Podemos ver pelo enunciado, que quando x ≤ -1, usa-se a função x² + 3x, ou seja, quando x = 1 ou x < -1, temos que:

$f( - 1) = x {}^{2} + 3x \: \to \: \: f( - 1) = ( - 1 ){}^{2} + 3.( - 1) \\ f( - 1) = - 2$

Portanto temos que a função é sim definida.

• Condição 2:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to 1^{+}} f(x) = \lim_{x\to 1^{ - } }f(x)$

Quando x tende a -1 pela direita, estamos se aproximando de -1 por valores maiores que ele, ou seja, devemos usar a função que corresponde a valores de x > -1. Já quando estamos se aproximando pela esquerda, ou seja, valores menores que eles, devemos usar a função corresponde a valores de x ≤ -1, então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to - 1^{+}} - x {}^{2} = \lim_{x\to - 1^{ - } }x {}^{2} + 3x \\ - ( - 1) {}^{2} = ( - 1) {}^{2} + 3( - 1) \\ - 1 = - 2$

Já podemos dizer que essa função não é contínua no ponto x = -1, já que os limites laterais não são iguais. Essa descontinuidade é essencial pois obviamente não conseguimos remover e também, como sabemos:

$\lim_{x\to a^{+}} f(x) = \lim_{x\to a^{+}} f(x) \\ descontinuidade \: remov \acute{i}vel \\ \lim_{x\to a^{+}} f(x) \neq\lim_{x\to a^{+}} f(x) \\ descontinuidade \: essencial$

Agora vamos analisar o ponto x = 0:

• Condição 1:

Do mesmo jeito da primeira análise, temos que:

$f(0) = 3$

Então ela está definida.

• Condição 2:

Analisando os limites laterais seguindo a mesma lógica da análise anterior:

$\: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to 0^{ - }} x {}^{2} = \lim_{x\to 0^{ +}} \arctan(x) \\ 0 {}^{2} = \arctan(0) \\ 0 = 0$

O limite lateral existe.

• Condição 3:

Agora vamos ver se a função definida possui o mesmo valor do limite bilateral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: f(x) = \lim_{x\to 0^{} }f(x) \\ 3 = 0$

Portanto podemos dizer que essa função nesse ponto também é descontínua, sendo essa descontinuidade removível como pode ser visto lá no início.