Question

(UTFPR) O perimetro de um poligono regular e de 27 m e o lado mede 3m. Podemos entao afirmar que ele possui quantas diagonais?

Answer 1

Em um polígono regular, há $n$ lados, todos com a mesmo comprimento $\ell.$

Como o perímetro $p$ é a soma das medidas de todos os lados, temos que

$p=\underbrace{\ell+\ell+\ldots +\ell}_{n\text{ lados}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}p=n\cdot \ell \end{array}}$


Para esta questão, temos

$p=27\text{ m}\\ \\ \ell=3\text{ m}$


Portanto,

$p=n\cdot \ell\\ \\ 27=n\cdot 3\\ \\ n=\dfrac{27}{3}\\ \\ n=9\text{ lados}.$


O número de diagonais de um polígono de $n$ lados é dado por

$\dfrac{n\,(n-3)}{2}$


Então, para o polígono de $9$ lados, o número de diagonais é

$\dfrac{9\,(9-3)}{2}\\ \\ =\dfrac{9\cdot 6}{2}\\ \\ =\dfrac{54}{2}\\ \\ =27\text{ diagonais.}$