Question

Usei a relação fundamental sen²x = 1 – cos²x e substituí na equação do enunciado:

3 cos²x – 7sen²x + 2 = 0
3 cos²x – 7 (1-cos² x) + 2 = 0
3 cos²x – 7 + 7cos²x + 2 = 0
10 cos²x – 5 = 0
cos²x = 5/10
cos² x = 1/2
cos x = √1/√2
cos x = √2/2

Tenho ciência de que o cosseno √2/2 equivale ao ângulo de 45º, o qual é representado no arco trigonométrico por π/4. No entanto, o que ocorre é que não consigo encontrar a segunda raiz a fim de que eu possa somar com a primeira e enfim obter o resultado. Por gentileza, alguém poderia jogar luz sobre minha dúvida?

Answer 1

Esqueceu desse detalhe:

$\sqrt{k^{2}}=|k|=\begin{cases}~~k,~~~\mathsf{se~k\ge0}\\-k,~~~\mathsf{se~k~\textless~0}\end{cases}$

Então:

$\cos^{2}x=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\sqrt{\cos^{2}x}=\sqrt{\frac{1}{2}}~\Rightarrow~|\cos x|=\frac{\sqrt{2}}{2}~\Rightarrow~\boxed{\boxed{\cos x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Temos dois casos:

$\bullet\,\,\,\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}~~~\Rightarrow~~~x=45\º=\dfrac{\pi}{4}\in[0,\pi]\\\\\\\bullet\,\,\,\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}~~~\Rightarrow~~~x=90\º+45\º=135\º=\dfrac{135\º}{180\º}\pi=\dfrac{3\pi}{4}\in[0,\pi]$

Logo, a soma dos valores de $x$ que solucionam a equação é

$S_{x}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{4}~~\Rightarrow~~\boxed{\boxed{S_{x}=\pi}}$