Question

Use o Teorema de Stokes para calcular

rotF · dS, onde F (x, y, z) = e^xy cos(z)i + x^2zj + xyk e S ´e o hemisf´erio x =1 -y^2− z^2, orientado na dire¸cao do eixo x positivo.

Gab =0

Answer 1

=> Matematicando

Essa questão não é possível calcular pelo método matemático

Precisaremos aplicar algumas definição sobre o teorema de Stokes.
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1:

Segundo o teorema de Stokes, só possível aplicar quando tivermos um domínio simplesmente conexo no "R³"

Observe que nessa questão temos apenas o hemisfério,

$x = 1-y^2-z^2$

Não temos uma superfície fechada no espaço.
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Para podermos usar o teorema, vamos acrescentar mais uma curva, para x = 0

Com x = 0

$\\ x = 1-y^2-z^2 \\ 0 = 1-y^2-z^2 \\ \\ y^2+z^2=1$

Agora sim, temos uma superfície fechada, compreendida entre:

x = 1 -y² -z²

e

y² + z² = 1
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Seja:

C₁ :  y² + z²  =1

e

C₂ :  x = 1 - y² -z²
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Segundo o teorema de Stokes:

∫ F.dr =  ∫ ∫ rot(f).n.dS
C          σ


Onde "C" é o domínio da superfície.
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Para nossa questão, C = C₁

∫  F.dr = ∫ ∫  Rot(f).n.dS
C₁         σ

Então, a integral sobre o hemisfério tem que ser zero.

Por que:

∫  F.dr  + ∫  F.dr  =  ∫ ∫ Rot(f)n.dS
c₁           c₂            σ

Passando A integral sobre C₁ pro lado direito nos dá como resultado zero

∫ F.dr = 0
c₂