Question

Use o TEOREMA DE GREEN (CIRCULAÇÃO-ROTACIONAL) para encontrar a circulação no sentido anti-horário do campo f(x,y)=(x+×e^x senxy) i ⃗+(x+e^x cosy)j ⃗,ao redor do laço direito da LAMINISCATA r^2 =cos2θ.

Answer 1

Temos:
$\vec{f}(x, y) = (x + e^x\sin y, x + e^x\cos y) = (f_{1}, f_{2})$

Calculamos a diferença:
$\dfrac{\partial f_{2}}{\partial x} - \dfrac{\partial f_{1}}{\partial y} = 1 + e^x\cos y - e^x\cos y = 1$

Pelo teorema de Green:
$\int\limits_{C} \vec{f} \cdot \textrm{d}\vec{\gamma} = \iint\limits_{D} \left(\dfrac{\partial f_{2}}{\partial x} - \dfrac{\partial f_{1}}{\partial y}\right)\textrm{d}S$, onde $C$ é o laço direito da lemniscata parametrizado por $\vec{\gamma}$ e $D$ é a região limitada pela lemniscata, tal que $C = \partial D$.

Assim, a circulação pretendida é igual à área de $D$, a qual, de acordo com o teorema de Fubini, é dada por:
$\iint\limits_{D} \textrm{d}S = \int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4} \int\limits_{0}^{\sqrt{\cos(2\theta)}} \rho \textrm{ d}\rho \textrm{ d}\theta = \dfrac{1}{2}$

Assim, a circulação é igual a $\dfrac{1}{2}$.