Question

Use o método dos Coeficientes a Determinar para obter a solução geral da Equação Diferencial y ′′ − 2y ′ + y = x²e^x

Answer 1

Resposta:

$\sf y''-2y'+y=x^2e^x$

Como foi visto na questão anterior, sua equação característica, $\sf \lambda^2-2\lambda+\lambda=0$, tem como solução $\sf\lambda_{1,2}=1$. Por ser duas raízes reais e iguais, a solução homogênea tem a forma:

$\sf y_h=c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}$

$\sf y_h=c_1e^{1x}+c_2xe^{1x}$

$\sf y_h=c_1e^x+c_2xe^x$

Agora a solução particular tem como forma:

$\sf y_p=A_2x^4e^x+A_1x^3e^x+A_0x^2e^x$

Assim:

$\sf y_p'=A_2(4x^3e^x+x^4e^x)+A_1(x^3e^x+3x^2e^2)+A_0(x^2e^{x+1}+2xe^{x+1})$

$\sf y_p''=A_2(x^4e^x+8x^3e^x+12x^2e^x)+A_1(x^3e^x+6x^2e^x+6xe^x)+A_0(x^2e^x+4xe^x+2e^x)$

E substituindo na equação inicial:

$\sf y_p''-2y_p'+y_p=x^2e^x$

$\sf A_2(x^4e^x+8x^3e^x+12x^2e^x)+A_1(x^3e^x+6x^2e^x+6xe^x)+A_0(x^2e^x+4xe^x+2e^x) - 2[A_2(4x^3e^x+x^4e^x)+A_1(x^3e^x+3x^2e^2)+A_0(x^2e^{x+1}+2xe^{x+1})]+A_2x^4e^x+A_1x^3e^x+A_0x^2e^x=x^2e^x$

$\sf A_2(x^4e^x+8x^3e^x+12x^2e^x)+A_1(x^3e^x+6x^2e^x+6xe^x)+A_0(x^2e^x+4xe^x+2e^x) - 2A_2(4x^3e^x+x^4e^x)-2A_1(x^3e^x+3x^2e^2)-2A_0(x^2e^{x+1}+2xe^{x+1})+A_2x^4e^x+A_1x^3e^x+A_0x^2e^x=x^2e^x$

Simplificando, tem-se:

$\sf12A_2x^2e^x+6A_1xe^x+2A_0e^x=x^2e^x+0xe^x+0e^x$

Dessa forma obtemos os coeficientes:

$\begin{cases}\sf12A_2=1\\\sf6A_1=0\\\sf2A_0=0\end{cases}\implies\begin{cases}\sf A_2=\frac{1}{12}\\\sf A_1=0\\\sf A_0=0\end{cases}$

Assim temos uma solução particular:

$\sf y_p=\frac{1}{12}x^4e^x+0x^3e^x+0x^2e^x$

$\sf y_p=\frac{1}{12}x^4e^x+0+0$

$\sf y_p=\frac{1}{12}x^4e^x$

Por fim, temos a solução geral que é a soma entre a solução homogênea e a solução particular:

$\sf y=y_h+y_p$

$\red{\boxed{\sf y=c_1e^x+c_2xe^x+\frac{1}{12}x^4e^x}}$