Question

Use o método de integração por partes para calcular a integral abaixo:

A- $\int\limits {\sqrt{x}}lnx \, dx$

Answer 1

Resposta:

$\Large{\boxed{\bold{\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot\left(\ln x-\dfrac{2}{3}\right)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta integral utilizando a técnica de integração por partes, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx$

Lembre-se da fórmula: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$

Como critério de escolha para $u$, temos a propriedade LIATE, em que dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Então, escolhemos $u=\ln x$ e $dv=\sqrt{x}\,dx$.

Diferenciamos a expressão em $u$, a fim de encontrarmos o diferencial $du$ e integramos a expressão em $dv$:

$u'=(\ln x)'\\\\\\\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow du=\dfrac{dx}{x}\\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \sqrt{x}\,dx}\\\\\\ v=\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$

Substituindo estes termos na fórmula, teremos

$\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx=\ln x\cdot \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot\dfrac{dx}{x}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\int \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{3}\,dx$

Aplique a propriedade da constante

$\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\dfrac{2}{3}\cdot\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$

Calcule a integral

$\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$

Multiplique as frações

$\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\\\dfrac{4x^{\frac{3}{2}}}{9}$

Podemos fatorar a expressão

$\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot\left(\ln x-\dfrac{2}{3}\right)$

Este é o resultado desta integral.