Question

Use integração dupla para calcular o volume do sólido delimitado pelo
cilindro x^2 + y^2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = 3 − x.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

O volume de um sólido limitado superiormente por uma função $z_1(x,~y)$, inferiormente por uma função $z_2(x,~y)$ e lateralmente por uma função de duas variáveis, pode ser calculada pela seguinte integral: $\displaystyle{\iiint_T1\,dV=\iiint_{z_2}^{z_1}\,dz\,dy\,dx=\iint z_1-z_2\,dy\,dx}$.

Então, neste caso, observe na imagem em anexo que o plano $z=3-x$ limita superiormente o sólido determinado pelo cilindro de equação $x^2+y^2=9$ e o plano $z=0$ o limita inferiormente.

Com isso, devemos calcular a seguinte integral dupla:

$\displaystyle{\iint_R 3-x\,dy\,dx}$, em que $R$ é a região delimitada pelo cilindro.

Fazemos uma mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares: $f(x,~y)\rightarrow f(r,~\theta)$ definida por $\begin{cases}x=r\cos(\theta)\\ y=r\,\rm{sen}(\theta)\\\end{cases}$.

Precisamos calcular seus limites de integração e o Jacobiano da transformação: $|J|=\begin{Vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\\end{Vmatrix}$.

Os limites de integração podem ser calculados substituindo as parametrizações na equação do cilindro:

$(r\cos(\theta))^2+(r\,{\rm{sen}}(\theta))^2=9\\\\\\ r^2\cos^2(\theta)+r^2{\rm{sen}}^2(\theta)=9\\\\\\ r^2=9\\\\\\ r=\pm~3$

Visto que a região está definida em todo o plano $xy$, assumimos o intervalo $0\leq r\leq 3$ e $0\leq\theta\leq 2\pi$.

Calculando as derivadas parciais das parametrizações, temos:

$\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos(\theta)\\\\\\ \dfrac{\partial x}{\partial \theta}=-r\,{\rm{sen}}(\theta)\\\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial r}={\rm{sen}}(\theta)\\\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos(\theta)$

O Jacobiano da transformação é: $|J|=\begin{Vmatrix}\cos(\theta)&-r\,{\rm{sen}}(\theta)\\{\rm{sen}}(\theta)&r\cos(\theta)\\\end{Vmatrix}=|r\cos^2(\theta)-(-r{\rm{sen}}^2(\theta))|=|r|$

Visto que $r$ é positivo no intervalo determinado, temos apenas $|J|=r$.

Após a mudança de variáveis, a integral se torna: $\displaystyle{\iint f(x,~y)\,dy\,dx=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2} f(r,~\theta)\cdot|J|\,dr\,d\theta}$.

Substituindo os resultados que encontramos, teremos:

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} (3-r\cos(\theta))\cdot r\,dr\,d\theta}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} 3r-r^2\cos(\theta)\,dr\,d\theta}$

Para resolver estas integrais, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1}$,
• A integral da função cosseno é a função seno: $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx={\rm{sen}}(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\left(3\cdot\int_{0}^{3} r\,dr-\cos(\theta)\cdot\int_0^3 r^2\,dr\right)\,d\theta}$

Aplique a regra da potência, lembrando que $r=r^1$

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\left(3\cdot\dfrac{r^{1+1}}{1+1}-\cos(\theta)\cdot\dfrac{r^{2+1}}{2+1}\right)~\biggr|_0^3\,d\theta}\\\\\\ \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\left(3\cdot\dfrac{r^2}{2}-\cos(\theta)\cdot\dfrac{r^3}{3}\right)~\biggr|_0^3\,d\theta}$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\left[3\cdot\dfrac{3^2}{2}-\cos(\theta)\cdot\dfrac{3^3}{3}-\left(3\cdot\dfrac{0^2}{2}-\cos(\theta)\cdot\dfrac{0^3}{3}\right)\right]\,d\theta}\\\\\\ \displaystyle{\int_{0}^{2\pi}\dfrac{27}{2}-9\cos(\theta)\,d\theta}$

Aplique a linearidade e calcule as integrais

$\displaystyle{\dfrac{27}{2}\cdot\int_0^{2\pi}1\,d\theta-9\cdot\int_0^{2\pi}\cos(\theta)}\\\\\\ \dfrac{27}{2}\cdot \theta-9\,{\rm{sen}(\theta)}~\biggr|_0^{2\pi}\\\\\\ \dfrac{27}{2}\cdot2\pi-9\,{\rm{sen}}(2\pi)-\left(\dfrac{27}{2}\cdot0-9\,{\rm{sen}(0)\right)\\\\\\ 27\pi~~\bold{u.~v}$

Este é o volume deste sólido.