Question

Use indução matemática para provar que 4 | (5^n – 1), onde n é um inteiro positivo. ???

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

1º A gente precisa começar pelo caso base,

$4 | 5^{1}-1$

Que é verdadeiro.

2º A segunda etapa é hipótese de indução,

Suponha que a propriedade é verdadeira para um número n = k, natural e maior ou igual a 1,

$4 | 5^{k}-1$

3º Agora precisamos fazer o passe indutivo,

$4 | 5^{k}-1 \Rightarrow 4 | 5^{k+1}-1$

Sabemos que, se 4 | x, então 4 | x * n, para todo n natural, então vamos multiplicar a expressão 5^k - 1 por 5.

$4 | (5^{k}-1)\cdot 5 = 5^{k+1}-5=5^{k+1}-1-4$

Portanto, podemos usar uma propriedade da divisibilidade que diz

Se d | a e d | b, então d | ax + by, para todos x, y inteiros.

Vamos somar um "b y" na nossa equação, no caso, b * y = 4 * 1

$4 | 5^{k+1}-1-4 +4=5^{k+1}-1$

Pronto, está provado.

Uma outra forma de provar isso, sem usar indução, é pela fatoração abaixo:

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

$5^{k}-1=(5-1)(5^{k-1}+...+1)=4(5^{k-1}+...+1)$