Usando os Princípios aditivo e multipliado determine a quantidade
de números comprendidos entre 0 e 10000 que verificam:
(a) os dígitos são todos diferentes sendo que os dígitos pares e os ímpares aparecem alternados. Por exemplo, os números 0, 10, 23, 1034
devem ser contados mas não 13 ou 241. Justifique;
(b) os dígitos podem estar repetidos mas não têm 2 (dois) dígitos
consecutivos iguais. Por exemplo, 1010 deve ser contado mas não
110. Justifique.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Pelo que entendi seria:
a)
cinco dígitos _ _ _ _ _ todos diferentes um do outro e sendo pares e ímpares alternados, sendo assim:
__ __ __ __ __
9 * 4 * 3 * 2 * 1 = 216 números
Explicação passo-a-passo:
Os valores serão de 955 e 7381 números, respectivamente.
Os princípios aditivos e multiplicativos na análise combinatória são utilizados através dos conectivos "ou" e "e".
O conectivo "ou" aditivo representa o caso em que ao menos uma de duas proposições são verdadeiras, excluindo apenas o caso em que ambas são falsas. Já o conectivo "e" multiplicativo represento o caso em que as duas proposições são verdadeiras ao mesmo tempo.
a) Para resolver o primeiro desafio as proposições 1 e 2 devem ocorrer ao mesmo tempo (ambas verdadeiras):
1. os números devem ser todos diferentes
2. os números devem ter pares e ímpares alternados
Pares = {0, 2, 4, 6, 8}
Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9}
Logo, teremos a aplicação do princípio multiplicativo. Pois, as duas proposições deve ser verdadeiras. Como vamos analisar os valores entre [0,10.000] teremos que calcular separadamente a quantidade de números que atendem os requisitos para os valores com 1, 2, 3 e 4 algarismos.
Para 1 algarismo (0 a 9) : _ , teremos 10 números
Para 2 algarismos (10 a 99): _ _
Começando com um número par, exceto 0: 4 pares * 5 ímpares = 20
Começando com um número ímpar: 5 ímpares * 5 pares = 25
Total de 20 + 25 = 45 números
Para 3 algarismos (100 a 999): _ _ _
Começando com um número par, exceto 0 e excluindo o caso em que os números pares se repetem: 4 pares * 5 ímpares * 4 pares= 4 * 5 * 4 = 80
Começando com um número ímpar: 5 * 5 * 4 = 100
Total de 80 + 100 = 180 números
Para 4 algarismos (1000 a 9999): _ _ _
Começando com um número par: 4 * 5 * 4 * 4 = 320
Começando com um número ímpar: 5 * 5 * 4 * 4 = 400
Total de 320 + 400 = 720 números
Somando os totais temos 10 + 45 + 180 + 720 = 955 números
b) Agora não teremos a restrição de números pares e ímpares, os números apenas não devem ter 2 dígitos consecutivos iguais.
Para 1 algarismo (0 a 9) : _ , teremos 10 números
Para 2 algarismos (10 a 99): _ _, teremos 9 * 9 = 81 números
Começa com 9 possibilidades pois o zero não dever ser considerado no primeiro caso.
Para 3 algarismos (100 a 999): _ _ _, 9 * 9 * 9 = 729 números
Começa com 9 possibilidades pois o zero não dever ser considerado no primeiro caso. E as outras são 9 pois o número não pode se repetir de forma consecutiva.
Para 4 algarismos (1000 a 9999): _ _ _, 9 * 9 * 9 * 9 = 6561 números
Somando os totais temos 10 + 81 + 729 + 6561 = 7381 números.
Espero ter ajudado!