Question

Usando o Teorema de Taylor, estime o erro que se comete ao aproximar a função f(x) = ln(1+x^2 ) por um polinômio de grau 6 no intervalo [-1,1]

Answer 1

Resposta:

Espero ter ajudado e desculpa ru não sei o qie acontece pois ainda estou no 6° Ano do fundamental. Mais tentei :D.

Explicação passo-a-passo:

Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor ou Série de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f infinitamente derivável num intervalo contendo um ponto {\displaystyle x_{0}}x_0, temos:

{\displaystyle T(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}}{2}}+{\frac {f'''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{3}}{6}}+...}{\displaystyle T(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}}{2}}+{\frac {f'''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{3}}{6}}+...}

{\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {f^{(n)}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{n}}{n!}}{\Biggr )}}{\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {f^{(n)}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{n}}{n!}}{\Biggr )}}[1]

Assim, pode-se ganhar precisão até quanto se queira. Para {\displaystyle n=1}n = 1, por exemplo:

{\displaystyle T_{1}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}{\displaystyle T_{1}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}

Esta é uma função que descreve a equação de uma reta (devido ao expoente {\displaystyle 1}1 relativo à variável {\displaystyle x}x). Esta reta possuí o coeficiente angular {\displaystyle f'(x_{0})}{\displaystyle f'(x_{0})}, logo, o gráfico de {\displaystyle T}T é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto {\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}{\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}. É importante ressaltar que este conceito está diretamente ligado à ideia de diferencial.