Question

Usando o Teorema de Green, o cálculo de integral com gama subscrito espaço abre parênteses x ao quadrado mais y ao quadrado fecha parênteses d x mais abre parênteses 4 x menos y fecha parênteses d y em que gama é o triângulo de vértices (0,0), (1,2) e (0,2) percorrido no sentido anti-horário é:


8 sobre 3


4 sobre 3


4


menos 4 sobre 3


menos 46 sobre 3

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Answer 1

• Calculando sua integral de linha pelo Teorema de Green, temos como resposta 4/3.

Dado o Teorema de Green:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\oint_C Pdx + Qdy = \int \int_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA\end{aligned}$

Sendo a integral de linha dada por $\large\displaystyle\begin{aligned}\oint_y (x^2+y^2)dx + (4x-y)dy \end{aligned}$ onde P e Q são respectivamente (x² + y²) e (4x - y), temos que:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \begin{cases} P = x^2 + y^2 \\ Q=4x-y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\frac{\partial Q}{\partial x} = 4\\\\ \frac{\partial P}{\partial y} = 2y \end{cases}\end{aligned}$

• Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\oint_y (x^2+y^2)dx + (4x-y)dy = \int \int _D \left( 4-2y \right)dA \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\oint_y (x^2+y^2)dx + (4x-y)dy = \int^1_0 \int^2 _{2x} \left( 4-2y \right)dydx \end{aligned}$

• Resolvendo essa integral dupla pelo Teorema de Fubini, temos:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int^1_0 \int^2 _{2x} \left( 4-2y \right)dydx = \int^1_0 \left[\int^2 _{2x} \left( 4-2y \right)dy\right]dx\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int^1_0 \left[\int^2 _{2x} \left( 4-2y \right)dy\right]dx =\int^1_0 \left[\left. \left( 4y-\frac{\not{2}y^2}{\not{2}} \right)\right|^2_{2x}\right]dx\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \int^1_0 \left[\left. \left( 4y-\frac{\not{2}y^2}{\not{2}} \right)\right|^2_{2x}\right]dx=\int^1_0 \left[\left. \left( 4(2)-(2)^2 - 4(2x) - (2x)^2 \right)\right]dx \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \int^1_0 \left[\left( 4(2)-(2)^2 - 4(2x) - (2x)^2 \right)\right]dx = 4\int_0^1 [(x^2-2x+1)] dx \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} 4\int_0^1 [(x^2-2x+1)] dx =4 \left.\left[\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}+x\right)\right]\right|^1_0 \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} 4 \left.\left[\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}+x\right)\right]\right|^1_0 = 4 \left.\left[\left(\frac{(1)^3}{3}-(1)^2+(1) -0\right)\right] \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} 4 \left.\left[\left(\frac{(1)^3}{3}-(1)^2+(1) -0\right)\right] = \frac{4}{3}\end{aligned}$

• Portanto, sua integral de linha tem como resposta:

$\therefore \large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\boxed{\boxed{\oint_y (x^2+y^2)dx + (4x-y)dy = \frac{4}{3} }}\end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Integrais de linha.

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