Question

usando o principio de induçao mostre que para todo n natural 1³+2³+3³+.........n³=[n(n+1)/2]²

Answer 1

$\bullet\;\;$ para $n=1$

$1^{3}=\left[\,\dfrac{1\cdot \left(1+1 \right )}{2}\, \right ]^{2}\\ \\ 1=\left[\,\dfrac{1\cdot 2}{2}\, \right ]^{2}\\ \\ 1=1^{2}\\ \\ 1=1\;\;\;\;\text{(verdadeiro)}$


Supondo, por hipótese de indução que

$\bullet\;\;$ para $n=k-1$, é verdade que

$1^{3}+2^{3}+\ldots+\left(k-1 \right )^{2}=\left[\,\dfrac{\left(k-1 \right )\left(\left(k-1 \right )+1 \right )}{2}\, \right ]^{2}\\ \\ 1^{3}+2^{3}+\ldots+\left(k-1 \right )^{2}=\left[\,\dfrac{\left(k-1 \right )\cdot k}{2}\, \right ]^{2}$


Queremos provar que, para $n=k$

$1^{3}+2^{3}+\ldots+\left(k-1\right)^{3}+k^{3}=\left[\,\dfrac{k\left(k+1 \right )}{2}\, \right ]^{2}$


$\bullet\;\;$ para $n=k$, temos

$1^{3}+2^{3}+\ldots+\left(k-1\right)^{3}+k^{3}\\ \\ =\left[\,\dfrac{\left(k-1 \right )\cdot k}{2}\, \right ]^{2}+k^{3}\\ \\ =\dfrac{\left(k-1\right)^{2}\cdot k^{2}}{4}+k^{3}\\ \\ =\dfrac{\left(k-1\right)^{2}\cdot k^{2}+4k^{3}}{4}\\ \\ =\dfrac{\left(k^{2}-2k+1\right)\cdot k^{2}+4k\cdot k^{2}}{4}\\ \\ =\dfrac{k^{2}\cdot \left[\,\left(k^{2}-2k+1 \right )+4k\, \right ]}{4}\\ \\ =\dfrac{k^{2}\left(k^{2}+2k+1 \right )}{4}\\ \\ =\dfrac{k^{2}\left(k+1 \right )^{2}}{4}\\ =\left[\,\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\,\right]^{2}$

como queríamos demonstrar.