Question

Usando o método de integração por parte:/ u.dv=u.v-/v.du,determine/ x.e elevado x dx.

Answer 1

$\int x*e^x .dx$

u = x
du = 1.dx

dv = e^x
v = e^x

integrando por partes
$x*e^x - \int e^x*1.dx\\\\\\ x*e^x - e^x+C\\\\ =\boxed{\int x*e^x .dx =e^x*(x-1)+C}$

Answer 2

Integração por partes:

$\boxed{\boxed{\int udv=uv-\int vdu}}$
________________________

$\int xe^{x}dx$

Temos uma ordem para escolha de 'u':

logaritmos > inversas trigonométricas > potências de x > trigonométricas > exponenciais

'u' será o que aparece em primeiro, na ordem acima.

x ------> potência de x
e^x ---> exponencial

Pela ordem, vemos que u = x, logo dv = e^x dx
________

$u=x~~~\therefore~~~du=1\cdot x^{1-1}dx~~~\therefore~~~du=dx\\\\dv=e^{x}dx~~~\therefore~~~v=\int dv~~~\therefore~~~v=\int e^{x}dx~~~\therefore~~~v=e^{x}$

Portanto, temos que:

$\int udv=uv-\int vdu\\\\\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx\\\\\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}\\\\\\\boxed{\boxed{\int xe^{x}dx=e^{x}\cdot(x-1)+constante}}$