Question

Usando o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, encontre trˆes n´umeros positivos cuja soma ´e 12 e cuja soma dos quadrados ´e a menor poss´ıvel.​

Answer 1

Resposta:

3,4,5

Explicação passo a passo:

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Seja x+y+z = 12 e x²+y²+z² mínima, logo precisaremos das derivadas parciais da função a ser minimizada:

Antes, escrevemos a estrutura de Lagrange:

L(x, y, z, k) = x²+y²+z² - k(x+y+z-12).

Derivadas:

L'x = 2x - k

L'y = 2y - k

L'z = 2z - k

L'k = x+y+z-12.

Igualamos as derivadas anteriores a 0, montando um sistema, daí precisamos resolve-los, colocamos tudo em função de k.

x = y = z = k/2.

Daí vamos na última equação e substituímos as variáveis:

(k/2)+(k/2)+(k/2) = 12;

3k/2 = 12, logo k = 8. Voltamos e fazemos o inverso pra descobrir as variáveis:

x=y=z = k/2 = 8/2 =4;

Logo os três valores são iguais e valem 4.

Espero ter ajudado