Question

Usando metodo de multiplicadores de lagrange determina qual é o ponto da parabola y=x2 que se encontra mais proximo do ponto (0,1)

Answer 1

Distância entre o ponto (x, y) e (0, 1):

$\large\boxed{d^{2} =x^{2} +( y-1)^{2}}$

Função de Lagrange:

$\boxed{F( x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n} ,\lambda _{1} ,\lambda _{2} ,...,\lambda _{n}) =f( x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n}) +\sum _{i=1}^{r} \lambda _{i} \phi _{i}( x_{1} ,x_{2} ,...,x_{n}) \thinspace }$

Seja d² = f(x,y). Então, temos

$f( x,y) \equiv x^{2} +( y-1)^{2}$

sujeita à restrição

$\phi ( x,y) \equiv y-x^{2} =0$

A função de Lagrange é:

$F( x,y,\lambda ) =f( x,y) +\lambda \phi ( x,y) \\ \\ =x^{2} +( y-1)^{2} +\lambda \left( y-x^{2}\right)$

Para os pontos críticos:

$\frac{\partial F}{\partial x} =0\Longrightarrow 2x-2x\lambda =0$

e

$\frac{\partial F}{\partial y} =0\Longrightarrow 2( y-1) +\lambda =0$

Das equações acima,

$x = 0 \vee \lambda = 1$

Se x = 0, então y = 0. Pois y = x².

Se "lambda" = 1, então y = ½, e x = ± 1/√2 = ±√2/2

Então os pontos críticos são (0, 0), (√2/2, ½) e (-√2,2, ½)

Inserindo em f(x,y),

$\begin{cases}f( 0,0) =( 0)^{2} +( 0-1)^{2} =1\\\\\\f\left(\frac{\sqrt{2}}{2} ,\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} +\left(\frac{1}{2} -1\right)^{2} =\frac{1}{2} +\frac{1}{4} =\frac{3}{4}\\ \\\\f\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} ,\frac{1}{2}\right) =\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} +\left(\frac{1}{2} -1\right)^{2} =\frac{1}{2} +\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\end{cases}$

Portanto, os pontos da parábola y = x^2 mais próximos do ponto (0, 1) são os pontos (-√2/2, ½) e (√2/2, ½).