Question

Usando integração qual a área delimitada pelas funções f(x) = 2 e g(x) = x²

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Seja a região $R$ compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$. A área desta região é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}1\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Então, seja a região compreendida entre as funções $f(x)=2$ e $g(x)=x^2$. Devemos determinar a área desta região.

Primeiro, igualamos as funções para encontrarmos o intervalo de integração:

$f(x)=g(x)\\\\\\ 2=x^2$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade

$x=\pm~\sqrt{2}$

Assim, o intervalo no qual esta região está compreendida é $[-\sqrt{2},~\sqrt{2}]$.

Observe ainda que, neste intervalo, $2>x^2$. Então, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}2-x^2\,dx$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b= F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}2\,dx-\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}x^2\,dx$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{2\cdot\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}1\,dx-\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}x^2\,dx$

Aplique a regra da potência, sabendo que $1=x^0$

$2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$2\cdot\dfrac{x^1}{1}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\\\\\\ 2x-\dfrac{x^{3}}{3}~\biggr|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$

Aplique os limites de integração

$2\cdot\sqrt{2}-\dfrac{(\sqrt{2})^3}{3}-\left(2\cdot(-\sqrt{2})-\dfrac{(-\sqrt{2})^3}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$2\sqrt{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\left(-2\sqrt{2}-\dfrac{(-2\sqrt{2})}{3}\right)\\\\\\ 2\sqrt{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}-\left(-2\sqrt{2}+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)\\\\\\ 2\sqrt{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}+2\sqrt{2}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\\\\\ \dfrac{8\sqrt{2}}{3}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.