Question

Usando completamento de quadrados, escreva a função quadrática
$f(x) = 2 {x}^{2} - 3x + x$
na forma
$f(x) = a(x - m)^{2} + k$
. A seguir, calcule suas raízes (se existirem), o eixo de simetria de seu gráfico, seu valor mínimo ou máximo e esboce o gráfico justificando todas as transformações. ​

Answer 1

Resposta:

1 )    2 ( x - 1/2 )² + ( - 1/2 )         2 ) S = { 0 ; 1 }         3 ) x = 1

4 ) Mínimo de ( - 1/2 )    

5 ) Gráfico em anexo

Explicação passo a passo:

f(x) = 2x² - 3x + x

1 ) Na forma  a ( x - m )² + k      

onde ( m ; k ) são as coordenadas do vértice     ( A )

Por isso se representa a Função do 2º grau na forma habitual

f(x) =ax² + bx + c

Mas também  a forma  :

f(x) =a ( x - m )² + k

se escreve

f(x) =a ( x - ( -b/2a) )² + ( - Δ/4a)

Resolução:

2x² - 3x + x

=  2x² - 2x

=2 ( x² - x + ( -1/2)² ) - 2 * ( - 1/2)²         complemento de quadrado

= 2 ( x - 1/2 )² - 2 * 1/4

= 2 ( x - 1/2 )² - 2/4

= 2 ( x - 1/2 )² + ( - 1/2 )                  Vértice ( 1/2 ; - 1/2 )       ( A )

Observação 1 → Quando adicionei ( - 1/2 )² foi dentro de um parêntesis

que está a multiplicar por 2.

Por isso quando subtraí  ( - 1/2)² , ele tinha que vir também multiplicado

por 2.

Assim ficou   " -  2 * ( - 1/2 )² " = - 2 * 1/4 = - 2/4 = - 1/2

Deste modo obtém-se uma função idêntica à inicial.

Verificação do vértice ( V ) da parábola

V ( - b/2a ;  - Δ / 4a )

f(x) = 2x² - 2x

a = 2

b = - 2

c = 0

Δ = ( - 2 )² - 4 * 2 * 0 = 4

Coordenada em x do vértice

x = - ( - 2 ) / (2 * 2 ) = 2 / 4 = 1/2

Coordenada em y do vértice

y = - 4 / (4 * 2) = - 4 / 8 = - 1/2

V ( 1/2 ; - 1/2 )       verificado e correto de acordo com (A)

2 ) Cálculo das raízes

Todas as equações do 2º grau podem ser resolvidas pela Fórmula de Bhaskara.

Mas as equações incompletas têm caminhos mais curtos para se obter as suas raízes

2x² - 2x = 0

x² - x = 0     dividi tudo por 2

x * x - x = 0

x ( x - 1 ) = 0         coloquei em evidência o "x" que é comum ao binómio

Temos Equação Produto

x = 0   ∨     x - 1 = 0

x = 0   ∨     x = 1

S = { 0 ; 1 }

3 ) Eixo de simetria

É da forma x = k,

onde   k = ( x1 + x2 ) / 2

Logo

x = ( 0 + 1 ) / 2

x = 1 / 2  

4 ) Valor mínimo

O valor mínimo ou máximo é o valor da coordenada em y do Vértice

Se a > 0 , parábola com  concavidade virada para cima

A coordenada em y do vértice é o mínimo da função

Se a < 0 , parábola com  concavidade virada para baixo

A coordenada em y do vértice é o máximo da função

Neste caso a = 2 , logo a > 0

- 1/2 ó o valor mínimo desta função

5 ) Esboço do gráfico

Para fazer este esboço necessitamos de vários pontos:

→ pontos interseção com eixo x

→ ponto com interseção eixo y

→ vértice

→ eixo de simetria

→ depois podemos escolher dois pares de valores em x, à direita e à

esquerda das raízes

Neste caso:

→ pontos interseção com eixo x       ( 0 ; 0 )   e  ( 1 ; 0 )

→ ponto com interseção eixo y            IY = (0 ; 0 )

coincide com um dos pontos de interseção com eixo do x

→ vértice  ( 1/2 ; - 1/2 )

→ eixo de simetria

  x = 1/2

→ Pontos à escolha

f(x) = 2x² - 2x

x = 1,5       y = 2 * (1,5)² - 2 * ( 1,5 ) = 2 * 2,25 - 3 = 4,5 - 3 = 1,5

C = ( 1,5 ; 1,5 )

x = 2       y = 2 * 2² - 2 * 2 = 8 - 4 = 4

D = ( 2 ; 4 )

x = - 0,5       y = 2 * ( - 0,5)² - 2 * ( - 0,5 ) = 2 * 0,25 + 1 = 0,5 + 1 = 1,5

E = ( - 0,5 ; 1,5 )

x = - 1           y = 2 * ( - 1 )² - 2 * ( - 1 ) = 2 + 2 = 4

F = ( - 1 ; 4 )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão       ( < )  menor do que   ( > ) maior do que

( x1 ; x2 ) nome dado às raízes da equação do 2º grau

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,

para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em

casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.