Question

Usando as fórmulas de adição, determine: a) tg 15° b) sen 15° c) cos 75° d) tg 75° e) sen 105° f) cos 195°

Answer 1

a) tg 15°

Sabemos que:

tg (a+b) = (tg a + tg b) / (1 - tga.tgb)

Além disso, tg 15° = tg 165°, fazendo a redução ao 1º quadrante. Desse modo:

tg (120° + 45°) = (tg 120° + tg 45°) / (1 - tg 120°. tg 45°)
tg (120° + 45°) = (√3 + 1) / (1 - √3.1)
tg (120° + 45°) = (√3 + 1) / (-√3 + 1)

RESPOSTA: tg 15° = (√3 + 1) / (-√3 + 1)


b) sen 15°

Sabemos que:

sen (a+b) = sen a. cos b + sen b. cos a

Pela redução ao 1º quadrante, temos que sen 15° = sen 165°. Assim:

sen (120° + 45°) = sen 120°. cos 45° + sen 45° . cos 120°
sen (120° + 45°) = (√3/2.√2/2) + (√2/2.(-1/2))
sen (120° + 45°) = √6/4 - √2/4
sen (120° + 45°) = (√6-√2)/4 

RESPOSTA: sen 15° = (√6-√2)/4

c) cos 75°

Sabemos que:

cos (a+b) = cos a. cos b - sen a. sen b

cos 75° = cos (45° + 30°)

Desse modo:

cos (45° + 30°) = cos 45° . cos 30° - sen 45°. sen 30°
cos (45° + 30°) = (√2/2 . √3/2) - (√2/2 . 1/2)
cos (45° + 30°) = √6/4 - √2/4
cos (45° + 30°) = (√6-√2) / 4

RESPOSTA: cos 75° = (√6-√2)/4

Percebe-se que: cos 75° = sen 15°, visto que:

sen (180º-x) = cos x

d) tg 75°

tg 75° = tg (45° + 30°)

tg (45° + 30°) = (tg 45° + tg 30°) / (1 - tg 45°. tg 30°)

tg (45° + 30°) = (1 + √3/3) / (1 - 1.√3/3)

tg (45° + 30°) = (1 + √3/3) / (1 - √3/3)

RESPOSTA: tg 75° = (1 + √3/3) / (1 - √3/3)

e) sen 105°

sen 105° = sen (90° + 15°)

sen (90° + 15°) = sen 90°. cos 15° + sen 15° . cos 90°

• Precisamos calcular o cos 15°. Sabendo que: cos 15° = sen 75°

sen (45° + 30°) = sen 45° . cos 30° + sen 30° . cos 45°
sen (45° + 30°) = (√2/2.√3/2) + (1/2.√2/2)
sen (45° + 30°) = (√6/4) + (√2/4)
sen (45° + 30°) = (√6 + √2)/4

Assim:

sen (90° + 15°) = 1.(√6 + √2)/4 + (√6-√2)/4 . 0

RESPOSTA: sen 105° = (√6 + √2)/4

f) cos 195°

cos 195° = cos (180° + 15°)

cos (180° + 15°) = cos 180° . cos 15° - sen 180° . sen 15°

cos (180° + 15°) = (-1).(√6 + √2)/4 - 0.(√6 - √2)/4

cos (180° + 15°) = (-√6 - √2)/4

RESPOSTA: cos 195° = (-√6 - √2)/4


Essa questão é muito trabalhosa e cansativa, então peço desculpas se as explicações ficaram mal feitas. Se encontrou algum erro conceitual ou nas respostas, ou ainda se tiver alguma dúvida no que fiz, pode dizer! :)