Question

Usando a integração por partes:$\int\limits u dv = u.v - \int\limits v_ du$
Sendo assim, a integral $\int\limits x . e^{x} dx$ Sera igual a:

I) $\frac{ x^{2} }{2} e^{x} + c$
II) $e^{x} + c$
III) $x . e^{x} - e^{x} + c$

Escolha uma:
a. A resposta III está correta.
b. A resposta I está correta.
c. Todas as alternativas estão incorretas.
d. A resposta II está correta.

Answer 1

$u=x$
$dv=e^x\ dx$
$du=1dx$
$v=e^x$

$xe^x-\int{1e^x}\ dx$
$xe^x-e^x+C$

Answer 2

Calcular a integral indefinida pelo método de integração por partes:

$\displaystyle\mathsf{\int{x\cdot e^{x}\,dx}}\\\\\\ \begin{array}{lcl} \mathsf{u=x}&~\Rightarrow~&\mathsf{du=dx}\\\\ \mathsf{dv=e^{x}\,dx}&~\Leftarrow~&\mathsf{v=e^{x}} \end{array}\\\\\\\\ \mathsf{\int{u\,dv}=\mathsf{u\cdot v-\int{v\,du}}}\\\\\\ \mathsf{\int{x\cdot e^{x}\,dx}=x\cdot e^{x}-\int{e^{x}\,dx}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\mathsf{\int{x\cdot e^{x}\,dx}=x\cdot e^{x}-e^{x}+C} \end{array}}$


Resposta: alternativa $\textsf{a.~A resposta III est\'{a} correta.}$