Question

Usando a definição precisa de limite, determine o valor de ᵟ quando for atribuido um valor ᵋ > 0, que prova que o lim 3x - 12 x→1 :

Answer 1

Através dos cálculos realizados, concluímos que o valor de ᵟ quando for atribuído um valor ᵋ > 0 será igual a ᵋ/3.

Definição Precisa e Formal de Limite

Para resolver o problema vamos usar a definição de Limite, ela diz o seguinte:

Seja f(x) uma função definida para todo x ≠ 0 em um intervalo aberto contendo a . E seja L um número real. Então:

  $\large\displaystyle\begin{gathered} \rm\lim_{x \to a} f(x) = L \end{gathered}$

Se, para todo $\epsilon$ > 0, existe um $\delta$ > 0, tal que se 0 < | x - a | < $\delta$, então | f(x) - L | < $\epsilon$.

Com isso, resolvendo o limite nos dado, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm\lim_{x \to 1} 3x-12 = 3\cdot 1-12 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm\lim_{x \to 1} 3x-12 = -9 \end{gathered}$

Logo, f(x) = 3x - 12, a = 1 e L = -9. Com isso, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm |f(x)-L| < \epsilon \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm |3x-12-(-9)| < \epsilon \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm |3x-12+9| < \epsilon \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm |3x-3| < \epsilon \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm |3(x-1)| < \epsilon \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm 3|x-1| < \epsilon \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm |x-1| < \frac{\epsilon}{3} \end{gathered}$

E sabemos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \rm 0 < |x-1| < \delta \end{gathered}$

Com isso, surge que:

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{\rm \delta = \frac{\epsilon}{3} }\end{gathered} }$

Para mais exercícios sobre Definição de Limite, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/4715643

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