Question

Os números inteiros de 1 até 2021 foram escritos em uma folha de papel. Em seguida, esses números foram marcados do seguinte modo: os múltiplos de 6 ganharam uma marca vermelha, adicionalmente os múltiplos de 7 ganharam uma marca amarela e adicionalmente os múltiplos de 8 ganharam uma marca verde. Quantos números ganharam mais do que uma marca?​

Answer 1

Calculando o mínimo múltiplo comum (mmc), encontramos os múltiplos em cada caso e vemos que são 144 folhas que terá mais de uma marca.

Mínimo múltiplo comum

Temos então 2021 folhas, no qual algumas receberam mais de uma marca pois são múltiplos de mais de um números.

Temos, então, os seguintes casos nas folhas que receberam mais de uma marca:

• é múltiplo de 6 e 7 ao mesmo tempo
• é múltiplo de 7 e 8 ao mesmo tempo
• é múltiplo de 6 e 8 ao mesmo tempo
• é múltiplo de 6, 7 e 8 ao mesmo tempo

Temos que encontrar a quantidade de múltiplos que estão entre 1 e 2021 em cada caso, para isso utilizaremos o mínimo múltiplo comum (mmc).

Com o mmc, encontraremos o menor múltiplo de cada caso e assim iremos dividir 2021 por esse múltiplo para saber quantos múltiplos tem ao todo. Iremos fazer caso a caso.

Iremos começar com o mmc de 6, 7 e 8:

6 , 7 , 8 | 2

3 , 7 , 4 | 2

3 , 7 , 2 | 2

3 , 7 , 1 | 3

1 , 7 , 1 | 7

1 , 1 , 1 |

MMC (6, 7, 8) = 2³ x 3 x 7 = 168

Fazendo a divisão, temos:

2021 / 168 = 12,029

O que interessa é a parte inteira, pois é a quantidade de múltiplos entre 1 e 2021, logo, tem 12 múltiplos.

Agora, iremos achar a quantidade de múltiplos de 6 e 7:

6 , 7 | 2

3 , 7 | 3

1 , 7 | 7

1, 1 |

MMC (6, 7) = 2 x 3 x 7 = 42

Fazendo a divisão, temos:

2021 / 42 = 48

Desses 48, temos 12 que também são múltiplos de 8 (resolvido anteriormente), logo temos que subtrair:

48 - 12 = 36

Então, temos, 36 múltiplos somente de 6 e 7.

Agora, para os múltiplos de 7 e 8:

7 , 8 | 2

7 , 4 | 2

7 , 2 | 2

7, 1 | 7

1 , 1 |

MMC (7, 8) = 2³ x 7 = 56

Dividindo: 2021 / 56 = 36

Retirando os 12: 36 - 12 = 24

Logo, temos 24 múltiplos exclusivos de 7 e 8.

Por fim, faremos os múltiplos de 6 e 8:

6 , 8 | 2

3 , 4 | 2

3 , 2 | 2

3 , 1 | 3

1 , 1 |

MMC (6, 8) = 2³ x 3 = 24

Dividindo: 2021 / 24 = 84

Retirando os 12: 84 - 12 = 72

Logo, temos 72 múltiplos somente de 6 e 8.

Agora, basta somar: 72 + 24 + 36 + 12 = 144

Logo, tem 144 folhas que ganharam mais de uma marca.

Saiba mais sobre mínimo múltiplo comum em: https://brainly.com.br/tarefa/26000

#SPJ1