Question

Usando a definição de limite, mostre: limx→3
(2x − 7) = −1;

Answer 1

• Definição de limite em matemática:

Um limite é um número que uma função se aproxima quando seu argumento também se aproxima de outro número. Em uma função de duas variáveis do tipo y = f(x), quando x se aproxima do valor de a, a função se aproxima do valor L que corresponde ao limite. A notação é assim:

$\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L$

À medida que x se aproxima do valor de x, a função f se aproxima do valor de L. Alguns limites são óbvios e correspondem ao mesmo valor de a avaliado na função. No entanto, os limites não são usados em casos óbvios, mas em funções mais complexas, onde o valor de uma função pode ser desconhecido ou inacessível.

• Definição Epsilon-delta ou limite por definição:

A definição épsilon-delta do limite afirma que o limite de f(x) em x=a é L se para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se a distância de x a a for menor que δ, então a distância de f(x) a L é menor que ε. Em notação matemática seria igual a:

$\boxed{\displaystyle \sf\lim_{x\to a}f(x)=L~Sim~\forall \epsilon>0,~\exist \delta>0~tal~que~sim~0<|x-a|<\delta~ent\~ao~|f(x)-L|<\epsilon}$

Para verificar o valor de um limite usando a definição de limite ou definição épsilon-delta, devemos relacionar epsion com delta de alguma forma.

• Cálculos:

Nosso objetivo é verificar se o valor do seguinte limite é verdadeiro, mas apenas usando a definição epsilon-delta, onde nosso limite é o seguinte:

$\displaystyle\lim_{x\to3}2x-7=-1$

Aplicando a definição de limite com o limite que temos, o que devemos fazer é provar o seguinte:

$\displaystyle \sf\lim_{x\to 3}2x-7=-1~Sim~\forall \epsilon>0,~\exist \delta>0~tal~que~sim~0<|x-3|<\delta~ent\~ao~|2x-7-(-1)|<\epsilon$

Trabalhando com a desigualdade envolvendo a variável ε (épsilon) podemos mostrar que:

$\sf |2x-7+1|<\epsilon\qquad \to\qquad |2x-6|<\epsilon\\\\ Removendo~2~como~um~fator~comum~na ~desigualdade~e~assim~temos:\\\\ \sf |2(x-3)|<\epsilon \qquad\to\qquad |2|\cdot |x-3|<\epsilon\\\\ Portanto ~temos~ que:\\\\ 2|x-3|<\epsilon\qquad\to\qquad |x-3| <{\epsilon}{2}\\\\ Ent\~ao~conclu\'imos~que ~\delta=\dfrac{\epsilon}{2}~ent\~ao~\'e~mostrado~que:\\\\ \boxed{\displaystyle \sf \lim_{x\to3}2x-7=-1}~\checkmark$