Matemática, perguntado por Estudios1, 1 ano atrás

(URGENTEE) Responda sem fazer as contas: por que a equação biquadrada " X^4 + 10x^2 + 9 =0 " não tem raízes reais?

Soluções para a tarefa

Respondido por MarcosAurélio99

A solução das biquadradas são quatro, S = ( x', y'; x ", y")
Mas nesse caso so tem duas raízes

Anexos:

MarcosAurélio99: Duas raízes reais , esqueci desse detalhe

MarcosAurélio99: Foi mal

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto solução da referida equação biquadrada é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-3i,\,-i,\,i,\,3i\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação biquadrada:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{4} + 10x^{2} + 9 = 0\end{gathered}$}$

Sabemos que esta equação foi gerada a partir da seguinte função biquadrada:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{4} + 10x^{2} + 9\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\b = 10\\c = 9\end{cases}$

Para calcular as raízes da função biquadrada devemos fazer:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x = \pm\sqrt{\frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{-10\pm\sqrt{10^{2} - 4\cdot1\cdot9}}{2\cdot1}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{-10\pm\sqrt{100 - 36}}{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \pm\sqrt{\frac{-10\pm8}{2}}\end{gathered}$}$

Encontrando as raízes, temos:

$\LARGE\begin{cases} x' = -\sqrt{\frac{-10 - 8}{2}} = -\sqrt{\frac{-18}{2}} = -\sqrt{-9} = -3i\\x'' = -\sqrt{\frac{-10 + 8}{2}} = -\sqrt{-\frac{2}{2}} = -\sqrt{-1} = -i\\x''' = \sqrt{\frac{-10 + 8}{2}} = \sqrt{-\frac{2}{2}} = \sqrt{-1} = i\\x'''' = \sqrt{\frac{-10 - 8}{2}} = \sqrt{\frac{-18}{2}} = \sqrt{-9} = 3i\end{cases}$