Question

URGENTEE, POR FAVOR ME AJUDEEEEM!! D:
1) Se a diagonal de quadrado mede 4 raiz de 2 dm, então a área do círculo inscrito tem por medida:
a) 6$\pi$dm²
b) 4$\pi$dm²
c) 2$\pi$dm²
d) $\frac{3 \pi }{2}$dm²
e) 3$\pi$dm²

2) Se o perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência é de 24cm, então o perímetro de um triângulo regular inscrito nessa mesma circunferência é:
a) $4 \sqrt{3}$ cm
b)$12 \sqrt{3}$ cm
c)$8 \sqrt{3}$ cm
d)$5 \sqrt{3}$ cm
e)$\sqrt{3}$ cm

Answer 1

1) Vamos calcular a medida dos lados do quadrado, que é a mesma medida do diâmetro do círculo:

D = diagonal
d = diâmetro

l = d

Usaremos Pitágoras:

Note que temos dois triângulos retângulos compartilhando a mesma hipotenusa (a diagonal do quadrado).

a² = b² + c²

Onde:

a = D (diagonal)
b e c = l (lados do quadrado)

Então:

D² = l² + l²
(4√2)² = 2l²
2l² = (4)² . (√2)²
2l² = 16 . 2
2l² = 32
l² = 32/2
l² = 16
l = √16
l = 4 dm


Como l = d, temos:


4 = d
d = 4 dm  (diâmetro do círculo)


Para calcularmos a área do círculo precisamos saber quanto valeu seu raio.

Sabemos que o raio é a metade do diâmetro, logo:

r = d/2
r = 4/2
r = 2 dm

Agora, calculamos a área do círculo:

A = π . r²
A = π . (2)²
A = π . 4
A = 4π dm²

Alternativa correta: Letra "b".


2) Perímetro do hexágono:

P = 6.l
24 = 6.l
l = 24/6
l = 4 cm = raio do círculo

Esse hexágono (chamemos de ABCDEF) comporta o triângulo (ACE)

Vamos determinar a medida do lado do triângulo.

Veja que entre o hexágono e o triângulo temos mais três triângulo menores, nos quais são isósceles, onde dois de seus lados são os lados do hexágono, e o outro é o lado do triângulo regular.

São eles:

ABC, CDE e EFA

Os lados do triângulo regular dividem igualmente o raio em dois.

Dividindo também os triângulo isósceles em triângulos retângulos.

Vamos pegar um triângulo retângulo e encontrar seus lados:


Por Pitágoras:

a² = b² + c²

Onde:

a = lado do hexágono
b = metade do raio
c = metade do lado que queremos obter.

Então:

a² = b² + c²
(4)² = (2)² + c²
16 = 4 + c²
c² = 16 - 4
c² = 12
c  = √12
c = 2√3 cm

Logo a medida do lado do triângulo regular é:

l = 2c
l = 2 . (2√3)
l = 4√3 cm

E seu perímetro é:

P = 3l
P = 3 . (4√3)
P = 12√3 cm

Alternativa correta: letra "b".