Question

URGENTE
$\tan(3x + \ \frac{\pi}{12} ) = \sqrt{3}$
alguém pode me ajudar a resolver ??
​

Answer 1

Olá, bom dia!

Para resolucionarmos a equação trigonométrica acima, o primeiro passo será definir o intervalo.

$\sf \tan\Bigg(3x + \frac{\pi}{12} \Bigg) = \sqrt{3} \\ \\ \\ \sf 3x + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + k \pi,k \in \\ \\ \\ \sf x = \frac{5\pi}{36} + \frac{k \pi}{3} ,k \in\mathbb{Z} \\ \\ \\\boxed{ \sf \tan\Bigg(3x + \frac{\pi}{12} \Bigg) = \sqrt{3} ,x \ne \frac{5\pi}{36} + \frac{k \pi}{ 3} ,k \in\mathbb{Z}}$

Obtido o intervalo acima, iremos isolar $\sf 3x + \frac{\pi}{12}$ ultilizando a função trigonométrica inversa.

$\sf 3x + \frac{\pi}{12} = \arctan\Bigg( \sqrt{3} \Bigg)$

Logo depois disso iremos utilizar a tabela de valores trigonométricos e descobrir o valor do ângulo $\sf \arctan\Bigg( \sqrt{3} \Bigg)$.

$\sf 3x + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$

Dado que $\sf \tan\Bigg(3x + \frac{\pi}{12} \Bigg)$ é periódica, iremos somar o período $\sf k \pi, k \in\mathbb{Z}$ para calcular todas as soluções.

$\sf 3x + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + k \pi, k \in\mathbb{Z}$

Então realizaremos o processo de mover a constante para o membro direito, e alterar o seu sinal, já que após passar pelo sinal de igualdade invertemos o sinal pelo oposto.

Lembre-se:

• + inverso -
• - inverso +
• × inverso ÷
• ÷ inverso ×

$\sf 3x = \red{ \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} } + k \pi, k \in\mathbb{Z}$

Então iremos realizar o Cálculo da diferença matemática dos termos que estão na cor vermelha.

$\sf \frac{4\pi}{4 \cdot3} - \frac{\pi}{12} \\ \\ \\ \sf \frac{4\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \\ \\ \\ \sf \frac{4\pi - \pi}{12} \\ \\ \\ \sf \frac{ \cancel{3 \div 3\pi}}{ \cancel{12 \div 3}} \\ \\ \\ \boxed{\sf \frac{\pi}{4} }$

Depois de realizarmos a subtração entre frações trigonométricas, iremos dividir ambos os membros da equação pelo número 3.

$\sf 3x \div 3 = \Bigg( \frac{\pi}{4} + k \pi \Bigg) \div 3 \\ \\ \\ \sf x = \Bigg( \frac{\pi}{4} + k \pi\Bigg) \div 3 \\ \\ \\ \sf x = \frac{\pi}{4} \div 3 + k \pi \div 3 \\ \\ \\ \sf x = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{3} + k \pi \div 3 \\ \\ \\ \sf x = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{k \pi}{3} \\ \\ \\ \sf x = \frac{\pi \cdot1}{4 \cdot3} + \frac{k \pi}{3} \\ \\ \\\boxed{ \sf x = \frac{\pi}{12} + \frac{k \pi}{3} ,k \in\mathbb{Z},x \ne \frac{5\pi}{36} + \frac{k \pi}{3}, k \in\mathbb{Z}}$

Encontrando a interseção da solução e o intervalo definido obtemos:

$\sf x = \frac{\pi}{12} + \frac{k \pi}{3} ,k \in\mathbb{Z} \cancel{,x \ne \frac{5\pi}{36} + \frac{k \pi}{3}, k \in\mathbb{Z}} \\ \\ \\ \huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf x = \frac{\pi}{12} + \frac{k \pi}{3} ,k \in\mathbb{Z}}}}}}$

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Att: Nerd1990