Question

URGENTE Sendo senX =
$\frac{ \sqrt{21} }{5}$
, cos 2x valerá?

a) 17/25
b) 13/25
c) 11/25
d) - 13/25
e) - 17/25
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Answer 1

Temos a seguinte informação:

$\sf senx = \frac{ \sqrt{21} }{5}$

A partir dessa informação a questão pergunta qual o valor de cos(2x), para isso teremos que primeiro encontrar o valor do cosseno, encontraremos tal valor através da relação fundamental da trigonometria, dada por:

$\orange \bigstar \: \: \sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \: \: \orange \bigstar$

• Lembre-se de elevar o valor do seno que possuímos ao quadrado.

$\sf \left ( \frac{ \sqrt{21} }{5} \right) {}^{2} + cos {}^{2} x = 1 \\ \sf \frac{21}{25} + cos {}^{2} x = 1 \\ \sf cos {}^{2} x = 1 - \frac{21}{25} \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{25 - 21}{25} \\ \sf cos {}^{2} x = \frac{4}{25} \\ \sf cos x = \pm\sqrt{ \frac{4}{25} } \\ \sf cosx = \pm\frac{2}{5}$

A questão não nos fala nenhum intervalo, então ficaremos com esses dois valores.

• Agora podemos encontrar o valor de cos(2x), para isso basta você lembrar a fórmula do arco duplo para o cosseno, caso não lembre tem como você deduzir. A fórmula para adição de arcos para o cosseno é dada por:

$\sf cos(a + b) = cos(a). cos(b) - sen(a).sen(b)$

Podemos dizer então que:

$\sf cos(2x) = cos(x + x) \\ \sf cos(x + x) = cosx .cosx - senx.senx \\ \boxed{\boxed{\sf cos(x + x) = cos {}^{2} x - sen {}^{2} x}}$

Essa será a fórmula usada para descobrir o cos(2x). Se você observar a fórmula, o cosseno e o seno estão ao quadrado, portanto mesmo se substituirmos um valor negativo no local dos mesmos esse valor tornará-se positivo pelo motivo de haver um expoente par.

• Substituindo os dados:

$\sf cos(2x) = cos {}^{2} x - sen {}^{2} x \\ \sf cos(2x) = \left( \frac{2}{5} \right) {}^{2} - \left( \frac{ \sqrt{21} }{5} \right) {}^{2} \\ \sf cos(2x) = \frac{4}{25} - \frac{21}{25} \\ \orange \bigstar\boxed{ \sf cos(2x) = - \frac{ 17}{25} } \orange\bigstar$

Espero ter ajudado