Question

URGENTE

Seja A a área da região correspondente a representação gráfica dos complexos x+yi tais que 3 ≤ |x+yi| ≤ 6, onde x − y ≤ 0. Escreva o valor correspondente a 2A/π.

Resposta:

Answer 1

O valor correspondente de 2A/π é 54.

$\dotfill$

O módulo de um número complexo z = x + yi é o comprimento do vetor que o representa no plano Argand-Gauss que pode ser calculado por:

|z| = √((x)² + (y)²)

Como, pelo enunciado, 3 ≤ |x+yi| ≤ 6, segue que:

3 ≤ √((x)² + (y)²) ≤ 6    ⇒   9 ≤ (x)² + (y)² ≤ 36

Como ainda x − y ≤ 0, x ≤ y.

De 9 ≤ (x)² + (y)² tem-se os pontos externos de um círculo centrado na origem de raio 3. Como x ≤ y, consideramos somente os pontos do segundo e terceiro quadrante.

De (x)² + (y)² ≤ 36 tem-se os pontos internos de um círculo centrado na origem de raio 6. Como x ≤ y, consideramos somente os pontos do segundo e terceiro quadrante.

Buscando a interseção dos dois conjuntos, o que se tem é a região dada por uma semi-ruela como mostra a figura em anexo.

A área A pode então ser calculada pela diferença entre as áreas dos semicírculos de raios 6 e 3:

A = π (6²) - π (3²) = 27π

Logo, 2A/π vale 2.27π /π  = 54

Até mais!