Question

URGENTE!!
Se uma função f possuir um valor de máximo ou de mínimo local em um número x₀ , então x₀ é denominado número crítico de f. O número crítico (ou ponto crítico ) de uma função f é um número x₀ no domínio da função tal que f¹(x₀) = 0 ou f¹(x₀) não existe. Baseado nessa informação, considere a função f(x) = 2x⁴ + 3x³ + 2x² + 1 e assinale a alternativa correta.
a) A função possui 3 pontos críticos.
b) A função tem um valor de máximo local quando x=0.
c) A função não possui valor de mínimo local.
d) A função possui um ponto crítico.
e) A função não possui pontos críticos.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Calculando a derivada primeira da função:

$\frac{df(x)}{dx} = 8x^3 + 9x^2 + 4x$

Determinando os pontos críticos, quando $\frac{df(x)}{dx} = 0$.

$8x^3 + 9x^2 + 4x = 0\\x(8x^2 + 9x + 4 ) = 0$

Evidente o primeiro ponto crítico: $x = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau entre parênteses, resulta em um discriminante negativo. Logo, não admite raiz real. Com isso, x = 0 é o único ponto crítico.

Derivando novamente a função. Isto é, calculando a derivada segunda:

$\frac{d^{2} f(x)}{dx^2} = 24x^2 + 18x + 4.$

Substituindo o valor do ponto crítico encontrado:

$\frac{d^{2} f(0)}{dx^2} = 24*(0)^2 + 18*0 + 4 = 4$

Como a $\frac{d^{2} f(0)}{dx^2} > 0$, pelo teste da derivada segunda, o ponto é ponto de mínimo.

Portanto, a função tem apenas um ponto crítico, quando x = 0. Sendo este, um ponto de mínimo.