Question

Urgente!
Qual é o menor valor possível para o numero natural n, não nulo, de modo que 48.n² seja um cubo perfeito?

Com explicação.

Answer 1

Resposta:

n =6

Explicação passo-a-passo:

48 = 8x6 = 2³x2x3= 2⁴x3

o menor cubo perfeito possível será

${2}^{6} \times {3}^{3}$

portanto precisamos multiplicar 48 por

2²x3², portanto N² = 2²x3², N = 2x3 = 6

Answer 2

Vamos explicar inicialmente o cubo perfeito.

Todos dos expoentes do numero fatorado deverá ser múltiplo de 3. No nosso caso temos:

48 . n²

fatorando 48

48 = 8 . 6

48 = 2³ . (2 . 3)

48 = 2⁴ . 3

Para que tenhamos cubo perfeito, qual numero devemos multiplicar a 2⁴ . 3 para que essa expressao só tenha expoentes múltiplos de 3 (o menor possivel)????

→ Para que 2⁴ tenha expoente múltiplo de 3, devemos saber qual numero posso multiplica-lo para obter 2⁶. Logo deverá ser 2²

2⁴ . 2² = 2⁴⁺² = 2⁶

→ Para que 3¹ tenha expoente múltiplo de 3, devemos saber qual numero posso multiplica-lo para obter 3³. Logo deverá ser 3²

3¹ . 3² = 3¹⁺² = 3³

Se n nao estivesse ao quadrado, o numero procurado seria 2² . 3². Devido n², entao n deverá ser 2 . 3.

48 . n = 48 . 2² . 3² = cubo perfeito (todos expoentes multiplos de 3)

48 . n² = 48 . (2 . 3)² = cubo perfeito (todos expoentes multiplos de 3)