Question

URGENTE PRA HOJE . Dada a função f(x) = Raiz de (log x / x² -1) na base 1/2 , ache o domínio da função

Answer 1

Iremos dividir isso em uma composição de 3 funções.

f(x) = k(h(g(x)))

g(x) = x/(x²-1)

h(x) = log1/2 (x)

k(x) = √x

Começarei as retrições de dentro pra fora.

Na g(x).

x² - 1 ≠ 0

Domínio: x ≠ 1 e x ≠ - 1

Na h(x).

Pela a definição de log, o domínio só pode ser número positivo, logo:

x/(x² - 1) > 0

Para esse valor ser positivo, temos duas possibilidades.

I.

x > 0

x² - 1 > 0

ou

II.

x < 0

x² - 1 < 0

I.

x > 0

(x + 1)(x - 1) > 0 ⇒x ∈  ]-∞,-1[ U ]1, +∞[

Entretanto, é só x > 0, logo:

x ∈ ]1, +∞[

II.

x < 0

(x + 1)(x - 1) < 0 ⇒ x ∈ ]-1, 1[

Entretanto, x < 0, logo:

x ∈ ]-1, 0[

Domínio: ]-1,0[ U ]1, +∞[

Para finalizar K(x). Como k(x) é uma função raiz, o número dentro da raiz jamais poderá ser menor que zero. Logo:

log1/2 (x/(x²-1)) ≥ 0

Portanto:

x/(x² - 1) ≥ 1

x/(x² - 1) - 1 ≥ 0

(x - x² + 1)/(x² - 1) ≥ 0

(-x² + x + 1)/(x² - 1) ≥ 0

Eu to sem tempo para fazer essa parte, mas acho que você já entendeu o esquema, espero ter ajudado.