Question

URGENTE! O nosso sistema de numeração é decimal. Isso significa que temos 10 símbolos (de 0 a 9) e a posição deles no número indica se estamos representando unidades, dezenas, centenas, e assim por diante. O número 111, por exemplo, indica que temos 1 centena (10 x 10), 1 dezena (10) e 1 unidade. Se usássemos um sistema de numeração de base 5, a representação 111 seria equivalente a 1 x (5 x 5) + 1 x 5 + 1, ou seja, 31 no sistema decimal. Como seria representado o número decimal 111 no sistema de numeração de base 5?

Answer 1

Vamos dizer que esse número é $abc$, então:

$5^2a+5b+c=111$

$25a+5b+c=111$

Lembre-se que, $0\le\ a,b,c<4$ e $a\ne0$.

Se [tax]a=3[/tex], teríamos $25a=75$ e o maior possível para $5b+c$ é $5\cdot4+4=24$.

Assim, se $a=3$, o maior valor possível para $25a+5b+c$ é $75+24=99$.

Com isso, devemos ter, $a=4$.

Daí, $25a+5b+c=25\cdot4+5b+c=100+5b+c$.

Ou seja, $100+5b+c=111$, donde, $5b+c=11$. 

A única possibilidade é $a=4$, $b=2$ e $c=1$.

Com isso, o número decimal 111 seria representado no sistema de numeração de base 5 como 421.

Answer 2

Para escrever um número decimal (que está representado na base 10) em uma outra base (por exemplo na base 5) divida sucessivamente o número decimal pela nova base até que o quociente seja menor do que esta base.

Então componha o número na nova base começando pelo último quociente seguido dos restos na ordem inversa da obtenção deles.

Vamos ao seu exemplo:

Divida 11 por 5, vai obter 22 e resto 1
Divida 22 por 5, vai obter 4 e resto 2

Como obteve 4 (menor do que 5) escreva 111 na base 5 da seguinte forma:

$\boxed{111_{[10]}=421_{[5]}}$

Agora você pode aplicar isto para qualquer número decimal em qualquer outra base