Question

URGENTE! NÃO PRECISA SER TODAS, MAS PELO MENOS ALGUMAS Em cada caso, determine se as funções que passam pelos pontos dados são crescentes ou descrescente, encontre o zero da função, e faça a análise do sinal.

a) (2;-3) e (-4;3)
b) (5;2) e (-2;-3)
c) (-1;4) e (-6;4)
d) (3;1) e (-5;4)
e) (-3;0) e (4;0)
f) (3;-5) e (1;-2)
g) (1;3) e (2;-2)
h) (0;0 e (2;4)
i) (0;3) e (8;3)
j) (2;10) e (8;1)
k) (0;50) e (8;0)

Answer 1

Vamos lá.  

1ª PARTE 

Fica mais fácil saber se a reta é crescente ou decrescente analisando por quadrantes do plano cartesiano. Conhece? Tem 4, contados no sentido anti-horário a partir dos eixos x e y.  
O 1º q é o de cima e à direita.
O 2º q é o de cima e à esquerda.
O 3º q é o de baixo e à esquerda.
O 4º q é o de baixo e à direita.  

a) (2;-3): 4ºq,  (-4;3): 2ºq ==> um ponto está no 4º q e o outro está no 2º q: função crescente

b) (5;2): 1ºq, (-2;-3): 3ºq ==> um ponto está no 1º q e o outro está no 3º q: função decrescente

c) (-1;4): 2ºq, (-6;4): 2ºq ==> um ponto está no 2º q e manteve-se no 2º q. Aqui tem que analisar melhor... O y de ambos os pontos é 4, só variou o x... A função não é crescente nem decrescente, é constante.

d) (3;1): 1q,  (-5;4): 2ºq  ==> um ponto está no 1º q e o outro está no 2º q. Opa, de novo, são quadrantes ambos na parte superior do plano cartesiano... Temos que conferir os pontos para sabermos a disposição da função. Vemos que a abscissa de um deles é negativa, está à esquerda do eixo y. Como a ordenada de -5 é maior que a ordenada de 3, a função tem gráfico decrescente. 

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2ª PARTE Encontrando as raízes ou zeros da função. 

É necessário encontrarmos primeiro a lei de formação das funções, na forma f(x) = ax+b.

A equação da reta dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB,yB) pode ser encontrada a partir do coeficiente angular a:
a = (yB-yA)/(xB-xA)

Depois é só substituir ambas as ordenadas de um dos dois pontos na equação para encontrar o valor de b.

Por fim, para encontrar as raízes, iguale a função a zero. 

a) (2;-3) e (-4;3)
a = (3-(-3))/((-4)-2) = 6/-6 = -1

f(x) = (-1)x+b
f(2) = (-1)(2)+b = -3 -2+b = -3 b = -3 +2 = -1  
f(x) = (-1)x+(-1)
f(x) = -x -1  

-x-1 = 0
x = -1
raiz: x=1  

   
b) (5;2) e (-2;-3)
a = ((-3)-2)/((-2)-5) = -5/-7 = 5/7

f(x) = (5/7)x+b 
f(5) = (5/7)(5)+b = 2
25/7 +b = 2
b = 2 - 25/7 = (14-25)/7 = -11/7

f(x) = (5/7)x+b
f(x) = (5x)/7 -11/7
 
(5x)/7 -11/7 = 0
(5x)/7 = 11/7
5x = 11
x = 11/5
raiz: x = 11/5  

 
c) (-1;4) e (-6;4)
a = (4-4)/(-6-(-1)) = 0/-5 = 0
 
f(x) = 0x+b
f(x) = b 
f(-1) = b = 4
b = 4
f(x) = 4  

raiz: não existe. O gráfico não toca o eixo x.  


d) (3;1) e (-5;4)
a = (4-1)/(-5-3) = 3/-8 = -3/8

f(x) = (-3/8)x+b  
f(3) = (-3/8)3+b = 1
-9/8 +b = 1
b = 1 +9/8
b = 17/8
f(x) = (-3/8)x+17/8  

(-3/8)x+17/8 = 0
(-3/8)x = -17/8
x = (-17/8)/(-3/8) = (17/8)(8/3) = 17/3
raiz: x = 17/3    

3ª PARTE

Análise do sinal

Como o exercício pediu o trabalho de achar a equação das retas a fim de encontrar as raízes, poderíamos a partir das equações já responder com facilidade a parte 1 e a parte 3, apenas analisando o coeficiente a.
Eu não notei isso antes, por isso fiz por quadrantes. Pegue o macete de olhar bem o que se pede em todo o comando da questão antes de resolvê-la, para ser mais rápida em suas provas e exercícios. 

a < 0 ==> função decrescente
a = 0 ==> função constante
a > 0 ==> função crescente  

Portanto:
a) a = -1 <0 : decrescente
b) a = 5/7 > 0: crescente
c) a = 0: constante
d) a = -3/8 < 0: decrescente  

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Abraços.

Bons estudos. ^^)

E bons sonhos....