Question

urgente favor quem souber
Em uma sequencia 1,3,6,10,15....
qual sera o valor do n123 ou qual a formula de lei de formação

Answer 1

 Olá Lipi, parabéns pela questão! Ela é muito boa!!

Vamos lá! Note que:

$\\ \mathsf{a_1 = 1} \\ \mathsf{a_2 = 1 + 2} \\ \mathsf{a_3 = 1 + 2 + 3} \\ \mathsf{a_4 = 1 + 2 + 3 + 4} \\ \mathsf{a_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5} \\ ... \\ \mathsf{a_n = a_{n - 1} + n}$

 Somando,

$\mathsf{a_1 + a_2 + ... + a_{n - 1} + a_n = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (a_{n - 1} + n)}$


 Mas, isto é o mesmo que:

$\\ \mathsf{a_1 = 1} \\ \mathsf{a_2 = a_1 + 2} \\ \mathsf{a_3 = a_2 + 3} \\ \mathsf{a_4 = a_3 + 4} \\ \mathsf{a_5 = a_4 + 5} \\ ... \\ \mathsf{a_n = a_{n - 1} + n}$

 Somando,

$\\ \mathsf{a_1 + a_2 + ... + a_{n - 1} + a_n = 1 + (a_1 + 2) + (a_2 + 3) + ... + (a_{n - 1} + n)} \\\\ \mathsf{a_1 + a_2 + ... + a_{n - 1} + a_n = (a_1 + a_2 + ... + a_{n - 1}) + (1 + 2 + ... + n)} \\\\ \mathsf{a_n = 1 + 2 + 3 + ... + n}$

 Como podemos notar, (1 + 2 + 3 + ... + n) é a soma dos termos de uma P.A cuja razão vale 1. Com efeito,

$\\ \mathsf{a_n = 1 + 2 + 3 + ... + n} \\\\ \mathsf{a_n = S_n} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a_n = \frac{(1 + n) \cdot n}{2}}}}$

 Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{a_n = \frac{n(n + 1)}{2}} \\\\\\ \mathsf{a_{123} = \frac{123 \cdot 124}{2}} \\\\\\ \mathsf{a_{123} = 123 \cdot 62} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a_{123} = 7626}}}$