Urgente
Determine o polinomio de quarto grau, cujas raízes são 2 (dupla), 3i (simples) e -3i (simples) sendo o seu coeficiente de x^4 igual a 1.
Soluções para a tarefa
Respondido por
1
Vamos lá.
Veja, Rebeca, que é simples a resolução.
Pede-se para determinar uma equação do 4º grau, cujas raízes reais são "2" (duplamente, ou seja, há duas raízes iguais a "2") e cujas raízes complexas são: "3i" e "-3i".
Antes de mais nada veja que uma equação do 4º grau, da forma f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, com raízes iguais a x', x'', x''' e x'''', tem a seguinte forma simplificada em função de suas raízes:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''')*(x-x'''')
Bem, tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então a equação do 4º grau da sua questão, que tem duas raízes reais e ambas iguais a "2" e duas raízes complexas "3i" e "-3i", com o termo "a" igual a "1", terá a seguinte equação (observação: o termo "a" numa equação do 4º grau é o coeficiente de x⁴):
f(x) = 1*(x-2)*(x-2)*(x-3i)*(x-(-3i) = (x-2)*(x-2)*(x-3i)*(x+3i)
f(x) = (x²-4x+4)*(x²-9i²) ------ veja que i² = -1. Assim, ficaremos com:
f(x) = (x²-4x+4)*(x²-9*(-1))
f(x) = (x²-4x+4)*(x²+9) ---- agora efetuando este produto, teremos:
f(x) = x⁴+9x²-4x³-36x+4x²+36 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos, finalmente:
f(x) = x⁴ - 4x³ + 13x² - 36x + 36 <--- Pronto. Esta é a resposta.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
Veja, Rebeca, que é simples a resolução.
Pede-se para determinar uma equação do 4º grau, cujas raízes reais são "2" (duplamente, ou seja, há duas raízes iguais a "2") e cujas raízes complexas são: "3i" e "-3i".
Antes de mais nada veja que uma equação do 4º grau, da forma f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, com raízes iguais a x', x'', x''' e x'''', tem a seguinte forma simplificada em função de suas raízes:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''')*(x-x'''')
Bem, tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então a equação do 4º grau da sua questão, que tem duas raízes reais e ambas iguais a "2" e duas raízes complexas "3i" e "-3i", com o termo "a" igual a "1", terá a seguinte equação (observação: o termo "a" numa equação do 4º grau é o coeficiente de x⁴):
f(x) = 1*(x-2)*(x-2)*(x-3i)*(x-(-3i) = (x-2)*(x-2)*(x-3i)*(x+3i)
f(x) = (x²-4x+4)*(x²-9i²) ------ veja que i² = -1. Assim, ficaremos com:
f(x) = (x²-4x+4)*(x²-9*(-1))
f(x) = (x²-4x+4)*(x²+9) ---- agora efetuando este produto, teremos:
f(x) = x⁴+9x²-4x³-36x+4x²+36 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos, finalmente:
f(x) = x⁴ - 4x³ + 13x² - 36x + 36 <--- Pronto. Esta é a resposta.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
adjemir:
Disponha, Rebeca, e bastante sucesso pra você. Um abraço.
Rebeca, agradecemos-lhe por haver eleito a nossa resposta como a melhor. Continue a dispor e um abraço.
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