Question

Urgente!!! Considere o polinômio P definido por P(x)=x^2+2(n+2)x+9n. Se as raízes de p(x)=0 são iguais, os valores de n são: a) 1 e 4; b) 2 e 3; c) -1 e 4; d) 2 e 4; e) 1 e -4.

Answer 1

Ola, por se tratar de um polinomio do 2°, existem 2 raízes nessa função. Para que elas sejam iguais, o delta(d) deve ser zero:

$d = {b}^{2} - 4 \times a \times c$
${(2n + 4)}^{2} - 4 \times 1 \times 9n = 0$
${4n}^{2} + 2 \times 2n \times 4 + 16 - 36n = 0$
$4 {n}^{2} - 20n + 16 = 0$
Se simplificarmos por 4:

${n}^{2} - 5n + 4 = 0$
Pelo metodo da soma e produto encontraremos as raízes:

S = -b/a
S = 5

P = c/a
P = 4

x' = 1
x" = 4

ALTERNATIVA A

Answer 2

Os valores de n são 1 e 4.

Explicação:

O polinômio P(x) é uma função do 2° grau, cuja fórmula é:

y = ax² + bx + c

P(x) = x² + 2(n + 2)x + 9n

Logo, os coeficientes são:

a = 1, b = 2(n + 2), c = 9n

Segundo o enunciado, as raízes de P(x) são iguais. Logo, o valor de discriminante (Δ) deve ser zero.

A fórmula do Δ é:

Δ = b² - 4ac

Substituindo os valores, temos:

Δ = (2(n + 2))² - 4.1.9n

Δ = (2n + 4)² - 36n

Δ = 4n² + 16n + 16 - 36n

Δ = 4n² - 20n + 16

Como Δ = 0:

4n² - 20n + 16 = 0

Simplificando:

n² - 5n + 4 = 0

Agora, resolvemos essa equação do 2° grau.

n = - b ± √(b² - 4ac)

                2a

n = -(-5) ± √((-5)² - 4.1.4)

                2.1

n = 5 ± √(25 - 16)

                2

n = 5 ± √9

         2

n = 5 ± 3

        2

n' = 5 + 3 = 8 = 4

         2        2

n' = 5 - 3 = 2 = 1

        2        2

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