Question

URGENTE
Calcule a derivada de $f(x)=ln \frac{ \sqrt{x^3-4} }{x}$

Answer 1

$\boxed{\boxed{f(x) = ln(\frac{ \sqrt{x^3-4} }{x} )}}$

pela regra da cadeia

$\boxed{[ln (u)]' = \frac{1}{u} * u'}}$


$U = \frac{ \sqrt{x^3-4} }{x}$

U' é a derivada disso tudo ai
utilizando a regra do quociente para derivar

$\boxed{\boxed{( \frac{F}{G} ) ' = \frac{F'*G - F*G'}{G^2} }}$

temos
$F = \sqrt{x^3-4}$

derivando isso..sabendo que 
$( \sqrt{U} )' = \frac{1}{2 \sqrt{u} } * u'$

derivada da raiz quadrada d algo é ..1 sobre o dobro da raiz desse algo
multiplicado pela derivada do que esta dentro do parenteses

aplicando isso
$F' = \frac{1}{2 \sqrt{x^3-4} } * 3x^2$

para G
$G = x\\\\G' = 1$

substituindo na regra do quociente
pra nao se perder vou reescrever assim

$( \frac{F}{G} )' = [F' *F - F*G' ] * \frac{1}{G^2}$

TEMOS

$( \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-4} } * x- ( \sqrt{x^3-4})* 1 )* \frac{1}{x^2} \\\\\\= ( \frac{3x^3}{2 \sqrt{x^3-4} } - \sqrt{x^3-4}) * \frac{1}{x^2}$

fazendo essa soma dentro do parenteses  fica

$( \frac{3x^3}{2 \sqrt{x^3-4} } - \sqrt{x^3-4})\\\\ = \frac{3x^3 - (\sqrt{x^3-4}) * (2\sqrt{x^3-4}) }{2 \sqrt{x^3-4} }\\\\ = \frac{3x^3 - 2*( \sqrt{x^3-4})^2 }{2 \sqrt{x^3-4} } \\\\= \frac{3x^3-2*(x^3-4)}{2 \sqrt{x^3-4} } \\\\\ = \boxed{\frac{x^3+8}{2 \sqrt{x^3-4} } }$

a expressão fica
$( \frac{x^3+8}{2 \sqrt{x^3-4} } )* \frac{1}{x^2} =\boxed{ \frac{x^3+8}{2x^2 \sqrt{x^3-4} } }$

lembrando que isso tudo foi pra encontrar u' la do começo

então temos
$[ln(u)]' = \frac{1}{u} * u'$
...................................
$u = \frac{ \sqrt{x^3-4} }{x} \\\\ u' = \frac{x^3+8}{2x^2 \sqrt{x^3-4} }$

substituindo na derivada
$f'(x) = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{x^3-4} }{x}} * \frac{x^3+8}{2x^2 \sqrt{x^3-4} }\\\\\\ f'(x) = \frac{x}{ \sqrt{x^3-4} } * \frac{(x^3+8)}{2x^2 \sqrt{x^3-4} }$

essa é a derivada...simplificando resolvendo essa multiplicação
$f'(x) = \frac{\not x}{ \sqrt{x^3-4} } * \frac{(x^3+8)}{2x^{\not 2} \sqrt{x^3-4} } \\\\f'(x)= \frac{1}{ \sqrt{x^3-4} }* \frac{x^3+8}{2x \sqrt{x^3-4} } \\\\\\f'(x) = \frac{1*(x^3+8)}{( \sqrt{x^3-4})*(2x)*( \sqrt{x^3-4} ) } \\\\ f'(x) = \frac{x^3+8}{2x *( \sqrt{x^3-4} )^2}\\\\ f'(x) = \frac{x^3+8}{2x*(x^3-4)}\\\\ \boxed{\boxed{f'(x) = \frac{x^3+8}{2x^4-8x} }}$